Найдите вероятность наступления ровно 5 успехов в 9 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p 0 5
Для решения данной задачи применим формулу для вычисления вероятности в распределении Бернулли, которая также известна как биномиальное распределение.
Шаг 1: Понимание задачи
Мы хотим найти вероятность того, что при 9 испытаниях (например, подбрасывании монеты) мы получим ровно 5 успешных исходов (например, орлов), если вероятность успеха (орел) в каждом испытании равна 0.5.
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность \( P(X = k) \) получения ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях описывается формулой:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — количество сочетаний из \( n \) по \( k \), вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае \( p = 0.5 \))
- \( n \) — количество испытаний (в нашем случае \( n = 9 \))
- \( k \) — количество успешных исходов (в нашем случае \( k = 5 \))
Шаг 3: Подставляем значения
В данной задаче:
- \( n = 9 \)
- \( k = 5 \)
- \( p = 0.5 \)
Теперь можем подставить эти значения в формулу.
- Сначала найдем \( C(9, 5) \):
\[ C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \]
- Подставим \( C(n, k) \), \( p \), и \( n \) в формулу:
\[ P(X = 5) = C(9, 5) \cdot p^5 \cdot (1 - p)^{9 - 5} \] \[ P(X = 5) = 126 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{4} \] \[ P(X = 5) = 126 \cdot (0.5)^{9} \] \[ P(X = 5) = 126 \cdot \frac{1}{512} \] \[ P(X = 5) = \frac{126}{512} \]
Шаг 4: Упрощение результата
Теперь можем упростить дробь:
\[ \frac{126}{512} = \frac{63}{256} \]
Окончательный ответ
Вероятность того, что в 9 испытаниях произойдет ровно 5 успехов при вероятности успеха \( p = 0.5 \):
\[ P(X = 5) = \frac{63}{256} \approx 0.2461 \]
Это означает, что вероятность получить ровно 5 успехов в 9 испытаниях равна примерно 24.61%.
