Петя с друзьями играют в настольные игры, определите вероятность того что при 7 петиных подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадает 4
Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть вероятность того, что при 7 подбрасываниях игральной кости только один раз выпадает число 4.
Шаг 1: Определим ситуацию Мы подбрасываем игральную кость 7 раз. Нам нужно, чтобы число 4 выпало ровно 1 раз.
Шаг 2: Нахождение вероятностей
При подбрасывании стандартной игральной кости есть 6 возможных исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6). Вероятность того, что при одном подбрасывании кости выпадает 4, равна:
- \( P(4) = \frac{1}{6} \)
Вероятность того, что при одном подбрасывании кости не выпадает 4, равна:
- \( P(\text{не 4}) = \frac{5}{6} \)
Шаг 3: Применение биномиального распределения
Поскольку у нас есть несколько независимых испытаний (подбрасываний кости), мы можем использовать биномиальное распределение для решения этой задачи. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае \( n = 7 \)),
- \( k \) — количество успешных исходов (в нашем случае \( k = 1 \)),
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае \( p = \frac{1}{6} \)),
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \).
Шаг 4: Подстановка значений
Теперь подставим наши значения в формулу:
Считаем биномиальный коэффициент: \[ C(7, 1) = \frac{7!}{1!(7 - 1)!} = \frac{7 \times 6!}{1 \times 6!} = 7 \]
Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 1) = C(7, 1) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{7 - 1} \]
Рассчитаем: \[ P(X = 1) = 7 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6} \]
Теперь вычислим \(\left(\frac{5}{6}\right)^{6}\): \[ \left(\frac{5}{6}\right)^{6} \approx 0.3349 \]
Подставляем это значение обратно: \[ P(X = 1) = 7 \cdot \frac{1}{6} \cdot 0.3349 \approx 0.3918 \]
Шаг 5: Окончательный ответ
Таким образом, вероятность того, что при 7 подбрасываниях игральной кости число 4 выпадет ровно 1 раз, составляет примерно 0.3918 или 39.18%.
