Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть вероятность того, что при 7 подбрасываниях игральной кости только один раз выпадает число 4.
Шаг 1: Определим ситуацию
Мы подбрасываем игральную кость 7 раз. Нам нужно, чтобы число 4 выпало ровно 1 раз.
Шаг 2: Нахождение вероятностей
При подбрасывании стандартной игральной кости есть 6 возможных исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6). Вероятность того, что при одном подбрасывании кости выпадает 4, равна:
Вероятность того, что при одном подбрасывании кости не выпадает 4, равна:
- ( P(\text{не 4}) = \frac{5}{6} )
Шаг 3: Применение биномиального распределения
Поскольку у нас есть несколько независимых испытаний (подбрасываний кости), мы можем использовать биномиальное распределение для решения этой задачи. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( n ) — общее количество испытаний (в нашем случае ( n = 7 )),
- ( k ) — количество успешных исходов (в нашем случае ( k = 1 )),
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае ( p = \frac{1}{6} )),
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} ).
Шаг 4: Подстановка значений
Теперь подставим наши значения в формулу:
Считаем биномиальный коэффициент:
[
C(7, 1) = \frac{7!}{1!(7 - 1)!} = \frac{7 \times 6!}{1 \times 6!} = 7
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
P(X = 1) = C(7, 1) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{7 - 1}
]
Рассчитаем:
[
P(X = 1) = 7 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6}
]
Теперь вычислим (\left(\frac{5}{6}\right)^{6}):
[
\left(\frac{5}{6}\right)^{6} \approx 0.3349
]
Подставляем это значение обратно:
[
P(X = 1) = 7 \cdot \frac{1}{6} \cdot 0.3349 \approx 0.3918
]
Шаг 5: Окончательный ответ
Таким образом, вероятность того, что при 7 подбрасываниях игральной кости число 4 выпадет ровно 1 раз, составляет примерно 0.3918 или 39.18%.
