Дан треугольник АВС, на стороне АС которого взята точка D такая, что AD = 5 см, а DC = 13 см. Отрезок D B делит треугольник АВС на два треугольника. При этом площадь треугольника…
Дан треугольник АВС, на стороне АС которого взята точка D такая, что AD = 5 см, а DC = 13 см. Отрезок D B делит треугольник АВС на два треугольника. При этом площадь треугольника АВС составляет 126 см2 Найди площадь меньшего из образовавшихся треугольников, ответ дай в квадратных сантиметрах
Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать свойства площади треугольника и некоторую геометрию. Давайте разберемся с пошаговым решением.
Шаг 1: Обозначим необходимые данные
У нас есть треугольник ABC. На стороне AC взята точка D.
- AD = 5 см
- DC = 13 см
Сначала найдем длину отрезка AC: \[ AC = AD + DC = 5\, \text{см} + 13\, \text{см} = 18\, \text{см} \]
Площадь треугольника ABC составляет 126 см².
Шаг 2: Найдем высоту треугольника ABC
Обозначим основание треугольника ABC как AC, и пусть h — это высота, проведенная из вершины B на сторону AC.
Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] Подставим известные значения: \[ 126 = \frac{1}{2} \times 18 \times h \] Умножим обе стороны на 2: \[ 252 = 18h \] Теперь выразим h: \[ h = \frac{252}{18} = 14 \, \text{см} \]
Шаг 3: Найдем площади треугольников ABD и BDC
Отрезок DB делит треугольник ABC на два меньших треугольника: ABD и BDC. Чтобы найти площади этих треугольников, мы будем использовать их высоты.
Площадь треугольника ABD: Предположим, что высота относительно основания AD равна h₁. Площадь ABD можно выразить через AD: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times h₁ \]
Площадь треугольника BDC: Аналогично, высота h₂ будет к основанию DC: \[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \times DC \times h₂ \]
Шаг 4: Отношение частей
Поскольку точки D находится на линии AC, отношениями площадей отдельных треугольников воспользуемся пропорциями сторон, так как высоты будут одинаковыми. Площадь треугольников будет пропорциональна длинам их оснований: \[ \frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \frac{AD}{DC} = \frac{5}{13} \]
Обозначим площадь треугольника ABD как \(S_{ABD} = 5k\) и площадь BDC как \(S_{BDC} = 13k\). Суммарные площади треугольников будут равны площади треугольника ABC: \[ S_{ABD} + S_{BDC} = 126 \\ 5k + 13k = 126 \\ 18k = 126 \\ k = \frac{126}{18} = 7 \]
Теперь подсчитаем площади: \[ S_{ABD} = 5k = 5 \times 7 = 35 \, \text{см}^2 \\ S_{BDC} = 13k = 13 \times 7 = 91 \, \text{см}^2 \]
Ответ
Таким образом, площадь меньшего из образовавшихся треугольников, треугольника ABD, составляет: \[ \boxed{35} \, \text{см}^2 \]
