Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать свойства площади треугольника и некоторую геометрию. Давайте разберемся с пошаговым решением.
Шаг 1: Обозначим необходимые данные
У нас есть треугольник ABC. На стороне AC взята точка D.
Сначала найдем длину отрезка AC:
[
AC = AD + DC = 5, \text{см} + 13, \text{см} = 18, \text{см}
]
Площадь треугольника ABC составляет 126 см².
Шаг 2: Найдем высоту треугольника ABC
Обозначим основание треугольника ABC как AC, и пусть h — это высота, проведенная из вершины B на сторону AC.
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
]
Подставим известные значения:
[
126 = \frac{1}{2} \times 18 \times h
]
Умножим обе стороны на 2:
[
252 = 18h
]
Теперь выразим h:
[
h = \frac{252}{18} = 14 , \text{см}
]
Шаг 3: Найдем площади треугольников ABD и BDC
Отрезок DB делит треугольник ABC на два меньших треугольника: ABD и BDC. Чтобы найти площади этих треугольников, мы будем использовать их высоты.
Площадь треугольника ABD:
Предположим, что высота относительно основания AD равна h₁.
Площадь ABD можно выразить через AD:
[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times h₁
]
Площадь треугольника BDC:
Аналогично, высота h₂ будет к основанию DC:
[
S_{BDC} = \frac{1}{2} \times DC \times h₂
]
Шаг 4: Отношение частей
Поскольку точки D находится на линии AC, отношениями площадей отдельных треугольников воспользуемся пропорциями сторон, так как высоты будут одинаковыми. Площадь треугольников будет пропорциональна длинам их оснований:
[
\frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \frac{AD}{DC} = \frac{5}{13}
]
Обозначим площадь треугольника ABD как (S_{ABD} = 5k) и площадь BDC как (S_{BDC} = 13k). Суммарные площади треугольников будут равны площади треугольника ABC:
[
S_{ABD} + S_{BDC} = 126 \
5k + 13k = 126 \
18k = 126 \
k = \frac{126}{18} = 7
]
Теперь подсчитаем площади:
[
S_{ABD} = 5k = 5 \times 7 = 35 , \text{см}^2 \
S_{BDC} = 13k = 13 \times 7 = 91 , \text{см}^2
]
Ответ
Таким образом, площадь меньшего из образовавшихся треугольников, треугольника ABD, составляет:
[
\boxed{35} , \text{см}^2
]
