В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 3. Найди отношение суммы площадей боковых граней призмы к сумме площадей её оснований

Давайте решим задачу о правильной шестиугольной призме, где все рёбра равны 3.

Шаг 1: Понимание структуры призмы

Правильная шестиугольная призма — это трехмерная фигура с двумя параллельными шестиугольными основаниями и six боковыми гранями, которые являются прямоугольниками.

Шаг 2: Находим площади оснований

Основание нашей призмы — правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \]

где \( a \) — длина стороны шестиугольника. В нашем случае \( a = 3 \).

Подставим значение:

\[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 3^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{27\sqrt{3}}{2} \]

Так как у нас две одинаковые основания, общая площадь оснований:

\[ S_{\text{осн}} = 2 \cdot S = 2 \cdot \frac{27 \sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3} \]

Шаг 3: Находим площади боковых граней

У шестиугольной призмы 6 боковых граней, и каждая из них представляет собой прямоугольник. Высота призмы равна длине рёбер (в данном случае 3), а ширина — это сторона шестиугольника, также равная 3.

Площадь одной боковой грани:

\[ S_{\text{бок}} = \text{высота} \times \text{ширина} = 3 \cdot 3 = 9 \]

Площадь всех боковых граней:

\[ S_{\text{боковые}} = 6 \cdot S_{\text{бок}} = 6 \cdot 9 = 54 \]

Шаг 4: Находим отношение

Теперь найдем отношение суммы площадей боковых граней к сумме площадей оснований:

\[ \text{Отношение} = \frac{S_{\text{боковые}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{54}{27\sqrt{3}} \]

Упростим это выражение:

\[ = \frac{54}{27\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]

Чтобы выразить это в более удобной форме, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[ = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]

Ответ

Отношение суммы площадей боковых граней призмы к сумме площадей её оснований равно:

\[ \frac{2\sqrt{3}}{3} \]