Найдите скалярное произведение векторов a → a и b → , b , если ∣ a → ∣ = 2 , ∣ a ∣= 2 , ∣ b → ∣ = 3 ∣ b ∣=3 и угол между векторами равен 4 5 ∘ . 45 ∘ .
Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), мы можем воспользоваться формулой:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \]
где:
- \(|\vec{a}|\) - длина (модуль) вектора \(\vec{a}\),
- \(|\vec{b}|\) - длина (модуль) вектора \(\vec{b}\),
- \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\),
- \(\cos(\theta)\) - косинус угла \(\theta\).
Теперь подставим известные значения:
- \(|\vec{a}| = 2\),
- \(|\vec{b}| = 3\),
- \(\theta = 45^\circ\).
Сначала найдем \(\cos(45^\circ)\). Известно, что:
\[ \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071 \]
Теперь подставим все значения в формулу для скалярного произведения:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) = 2 \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ) \]
Подставив значение \(\cos(45^\circ)\):
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \]
Чтобы упростить это выражение, мы можем умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3\sqrt{2} \]
Это и будет ответом на вашу задачу.
