Чтобы найти скалярное произведение векторов (\vec{a}) и (\vec{b}), мы можем воспользоваться формулой:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)
]
где:
- (|\vec{a}|) - длина (модуль) вектора (\vec{a}),
- (|\vec{b}|) - длина (модуль) вектора (\vec{b}),
- (\theta) - угол между векторами (\vec{a}) и (\vec{b}),
- (\cos(\theta)) - косинус угла (\theta).
Теперь подставим известные значения:
- (|\vec{a}| = 2),
- (|\vec{b}| = 3),
- (\theta = 45^\circ).
Сначала найдем (\cos(45^\circ)). Известно, что:
[
\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071
]
Теперь подставим все значения в формулу для скалярного произведения:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) = 2 \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ)
]
Подставив значение (\cos(45^\circ)):
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}
]
Чтобы упростить это выражение, мы можем умножить числитель и знаменатель на (\sqrt{2}):
[
\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}
]
Таким образом, скалярное произведение векторов (\vec{a}) и (\vec{b}) равно:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\sqrt{2}
]
Это и будет ответом на вашу задачу.
