построить график у=|х-3| и его свойства

Чтобы построить график функции \( y = |x - 3| \) и разобраться с её свойствами, давайте разберёмся, что такое модуль и как он влияет на график.

Шаг 1: Понимание функции

Функция \( y = |x - 3| \) представляет собой модуль разности \( x \) и 3. Модуль числа описывает расстояние этого числа до нуля на числовой оси, и в случае с функцией \( |x - c| \) (где \( c \) — постоянное число) она изменяется в зависимости от того, больше или меньше \( x \) этого числа.

Шаг 2: Определим промежутки

Разобьем функцию на два случая в зависимости от значения \( x \):

1. Когда \( x \geq 3 \): \[ |x - 3| = x - 3 \]
2. Когда \( x < 3 \): \[ |x - 3| = 3 - x \]

Шаг 3: Построение графика

Теперь у нас есть две линейные функции:

• Для \( x \geq 3 \), \( y = x - 3 \)
• Для \( x < 3 \), \( y = 3 - x \)

Эти функции можно нарисовать.

1. Точка пересечения: Обе части функции пересекаются в точке \( (3, 0) \). Это значит, что когда \( x = 3 \), \( y = 0 \).

2. Линия 1: Для \( x \geq 3 \) у нас прямая линия с углом наклона 1 (положительная) и с пересечением с осью \( y \) в точке \( (0, -3) \) (но эта часть нас не интересует, поскольку x < 3). Мы можем взять пару точек, чтобы построить линию:

   • Если \( x = 3 \), то \( y = 0 \)
   • Если \( x = 4 \), то \( y = 1 \)
   • Если \( x = 5 \), то \( y = 2 \)

3. Линия 2: Для \( x < 3 \) у нас прямая линия с углом наклона -1 (отрицательная) и с пересечением с осью \( y \) в точке \( (0, 3) \). Пара точек:

   • Если \( x = 2 \), то \( y = 1 \)
   • Если \( x = 1 \), то \( y = 2 \)
   • Если \( x = 0 \), то \( y = 3 \)

Шаг 4: Рисуем график

Теперь мы можем нарисовать график. Он будет V-образным и будет выглядеть следующим образом:

• Начинается с точки \( (0, 3) \) и идёт вниз, пока не достигнет \( (3, 0) \).
• Затем продолжается вверх от точки \( (3, 0) \).

Шаг 5: Свойства функции

1. Область определения: Все реальные числа, т.е. \( x \in \mathbb{R} \).
2. Область значений: \( y \geq 0 \) (функция всегда неотрицательна).
3. Точка минимума: Наименьшее значение \( y = 0 \) достигается в точке \( x = 3 \).
4. Чётность: Функция нечётная, так как не остаётся симметричной относительно начала координат.

Теперь вы обладаете всеми необходимыми знаниями для построения графика функции \( y = |x - 3| \) и его анализа! Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!