построить график функции у=|3х| и его свойства

Для того чтобы построить график функции \( y = |3x| \) и изучить её свойства, давайте шаг за шагом разберём эту задачу.

Шаг 1: Понимание функции

Функция \( y = |3x| \) — это модульная функция. Модуль числа всегда даёт неотрицательное значение, поэтому:

• Если \( 3x \geq 0 \), то \( |3x| = 3x \).
• Если \( 3x < 0 \), то \( |3x| = -3x \).

Таким образом, мы можем определить два случая:

1. \( x \geq 0 \) (то есть \( x \) положительное или ноль): \[ y = 3x \]

2. \( x < 0 \) (то есть \( x \) отрицательное): \[ y = -3x \]

Шаг 2: Построение графика

Теперь, построим график функции, зная, как она ведёт себя в этих двух случаях.

• Для \( x \geq 0 \):

  • При \( x = 0 \), \( y = 3(0) = 0 \).
  • При \( x = 1 \), \( y = 3(1) = 3 \).
  • При \( x = 2 \), \( y = 3(2) = 6 \).

• Для \( x < 0 \):

  • При \( x = -1 \), \( y = -3(-1) = 3 \).
  • При \( x = -2 \), \( y = -3(-2) = 6 \).

Теперь мы можем нарисовать график, соединяя точки, которые мы нашли:

• Точки для \( x < 0 \):

  • (-2, 6)
  • (-1, 3)
  • (0, 0)

• Точки для \( x \geq 0 \):

  • (0, 0)
  • (1, 3)
  • (2, 6)

График будет выглядеть как две линии:

• Линия с углом наклона 3 (для положительных \( x \)),
• Линия с углом наклона -3 (для отрицательных \( x \)).

Шаг 3: Свойства функции

1. Область определения: \( x \in \mathbb{R} \) (все действительные числа).
2. Область значений: \( y \geq 0 \) (то есть \( y \) может принимать любые неотрицательные значения).
3. Непрерывность: Функция является непрерывной на всей области определения.
4. Симметрия: Функция \( y = |3x| \) является симметричной относительно оси Y, так как значения функции для \( x \) и \( -x \) равны.
5. Пересечение с координатными осями:
   • Пересечение с осью Y: \( (0, 0) \) — при \( x = 0 \).
   • Пересечение с осью X также происходит в \( (0, 0) \).

Шаг 4: График

Теперь, вы можете нарисовать график функции \( y = |3x| \) на координатной плоскости, используя полученные точки и описанные свойства. Обычно этот график напоминает букву "V", направленную вверх.

Заключение

Функция \( y = |3x| \) демонстрирует важные аспекты модульной функции и её график имеет простую структуру. С пониманием её свойств вы сможете легко анализировать другие подобные функции.