Знаменатель правильной дроби на  1 больше числителя. Если числитель и знаменатель уменьшить на  1, то дробь уменьшится на 1/6. Найди исходную дробь.

Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Определение переменных:** Обозначим числитель дроби как \( x \). Тогда знаменатель, согласно условию, будет \( x + 1 \) (так как знаменатель на 1 больше числителя). Таким образом, наша дробь может быть записана как \( \frac{x}{x + 1} \). 2. **Условия задачи:** Согласно условию, если мы уменьшаем числитель и знаменатель дроби на 1, новая дробь будет равна \( \frac{x - 1}{x} \). Эта дробь меньше исходной дроби на \( \frac{1}{6} \). Мы можем записать это равенство в виде уравнения: \[ \frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{6} \] 3. **Упрощение уравнения:** Начнем с левой части уравнения: \[ \frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \] Приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет \( x(x + 1) \). Перепишем обе дроби: \[ \frac{x^2}{x(x + 1)} - \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x(x + 1)} \] Упростим: \[ \frac{x^2 - x^2 + 1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x(x + 1)} \] Теперь у нас есть: \[ \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{6} \] 4. **Решение уравнения:** Умножим обе стороны уравнения на \( 6x(x + 1) \) чтобы избавиться от дробей: \[ 6 = x(x + 1) \] Раскроем скобки: \[ x^2 + x - 6 = 0 \] 5. **Решим квадратное уравнение:** Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -6 \). Подставим значения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Находим два возможных значения для \( x \): \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \] Поскольку мы имеем дело с дробью, числитель не может быть отрицательным. Таким образом, \( x = 2 \). 6. **Определим дробь:** Теперь подставим найденное значение \( x \) обратно в дробь: Числитель: \( x = 2 \) Знаменатель: \( x + 1 = 3 \) Исходная дробь: \( \frac{2}{3} \). 7. **Ответ:** Исходная дробь — \( \frac{2}{3} \). Таким образом, мы нашли дробь, удовлетворяющую всем условиям задачи.