Знаменатель правильной дроби на 1 больше числителя. Если числитель и знаменатель уменьшить на 1 , то дробь уменьшится на 1/6. Найди исходную дробь.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Определение переменных:
Обозначим числитель дроби как \( x \). Тогда знаменатель, согласно условию, будет \( x + 1 \) (так как знаменатель на 1 больше числителя).Таким образом, наша дробь может быть записана как \( \frac{x}{x + 1} \).
Условия задачи:
Согласно условию, если мы уменьшаем числитель и знаменатель дроби на 1, новая дробь будет равна \( \frac{x - 1}{x} \).Эта дробь меньше исходной дроби на \( \frac{1}{6} \). Мы можем записать это равенство в виде уравнения:
\[ \frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{6} \]
Упрощение уравнения:
Начнем с левой части уравнения:\[ \frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \]
Приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет \( x(x + 1) \). Перепишем обе дроби:
\[ \frac{x^2}{x(x + 1)} - \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x(x + 1)} \]
Упростим:
\[ \frac{x^2 - x^2 + 1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x(x + 1)} \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{6} \]
Решение уравнения:
Умножим обе стороны уравнения на \( 6x(x + 1) \) чтобы избавиться от дробей:\[ 6 = x(x + 1) \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -6 \). Подставим значения:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]
Находим два возможных значения для \( x \):
\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Поскольку мы имеем дело с дробью, числитель не может быть отрицательным. Таким образом, \( x = 2 \).
Определим дробь:
Теперь подставим найденное значение \( x \) обратно в дробь:Числитель: \( x = 2 \)
Знаменатель: \( x + 1 = 3 \)Исходная дробь: \( \frac{2}{3} \).
Ответ:
Исходная дробь — \( \frac{2}{3} \).
Таким образом, мы нашли дробь, удовлетворяющую всем условиям задачи.
