Чтобы решить задачу о количестве вершин в полном графе, нам нужно использовать формулу для вычисления количества рёбер в полном графе ( K_n ), где ( n ) — это количество вершин.
Формула для числа рёбер в полном графе выглядит так:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( E ) — количество рёбер, а ( n ) — количество вершин.
В данном случае нам известно, что количество рёбер ( E = 210 ). Подставим это значение в формулу и решим уравнение:
[
210 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Чтобы избавиться от деления на 2, умножим обе стороны уравнения на 2:
[
420 = n(n-1)
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение ( n(n-1) - 420 = 0 ). Раскроем скобки:
[
n^2 - n - 420 = 0
]
Для решения этого уравнения можем воспользоваться дискриминантом:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ), и ( c = -420 ):
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681
]
Теперь находим корни уравнения по формуле:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1681}}{2}
]
Сначала вычислим ( \sqrt{1681} ):
[
\sqrt{1681} = 41
]
Теперь подставим значение в формулу:
[
n = \frac{1 \pm 41}{2}
]
Это даёт два возможных решения:
- ( n = \frac{42}{2} = 21 )
- ( n = \frac{-40}{2} = -20 ) (это значение нам не подойдёт, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, количество вершин в полном графе ( K_n ) составляет ( n = 21 ).
Итак, ответ: в полном графе 21 вершина.
