Для решения задачи начнем с определения необходимых данных и формул.
Шаг 1: Найдем размеры газона.
Периметр прямоугольного газона ( P = 60 ) м. Известно, что периметр прямоугольника вычисляется по формуле:
[
P = 2 \times (a + b)
]
где ( a ) и ( b ) — длины сторон газона. Подставляем известное значение периметра:
[
60 = 2 \times (a + b)
]
Разделим обе стороны уравнения на 2:
[
30 = a + b
]
Шаг 2: Найдем размеры внешнего периметра клумбы.
Внешний периметр клумбы равен ( P_{\text{внеш}} = 63 ) м 2 дм. Поскольку 1 м = 10 дм, мы можем конвертировать периметр в дециметры:
[
P_{\text{внеш}} = 63 , \text{м} + 20 , \text{дм} = 63 + 2 = 65 , \text{дм}
]
Поскольку клумба окружает газон с одинаковой шириной ( x ), внешние размеры клумбы можно выразить как:
[
a + 2x \quad \text{и} \quad b + 2x
]
Теперь периметр клумбы можно записать так:
[
P_{\text{внеш}} = 2 \times ((a + 2x) + (b + 2x)) = 2 \times (a + b + 4x)
]
Подставим ( a + b = 30 ):
[
65 = 2 \times (30 + 4x)
]
Разделим обе стороны на 2:
[
32.5 = 30 + 4x
]
Теперь решим уравнение для ( x ):
[
4x = 32.5 - 30 = 2.5
]
[
x = \frac{2.5}{4} = 0.625 , \text{м}
]
Шаг 3: Теперь найдем область клумбы.
Площадь газона:
[
S_{\text{газон}} = a \times b
]
Нам нужно выразить ( a ) и ( b ) через ( x ) для дальнейших расчетов. У нас есть два уравнения:
- ( a + b = 30 )
- ( a ) и ( b ) могут быть выражены через ( b = 30 - a ).
Теперь подставим это в площадь клумбы. Площадь внешней клумбы:
[
S_{\text{внеш}} = (a + 2x)(b + 2x)
]
Теперь подставим ( 2x = 2 \times 0.625 = 1.25):
[
S_{\text{внеш}} = (a + 1.25)(b + 1.25)
]
Теперь, подставляя ( b = 30 - a ):
[
S_{\text{внеш}} = (a + 1.25)((30 - a) + 1.25)
]
[
S_{\text{внеш}} = (a + 1.25)(31.25 - a)
]
Теперь мы знаем, что площадь клумбы — это разница между площадью внешней клумбы и площадью газона. Площадь клумбы формула:
[
S_{\text{клумба}} = S_{\text{внеш}} - S_{\text{газон}}
]
Шаг 4: Площадь клумбы.
Площадь клумбы будет равна:
[
S_{\text{клумба}} = S_{\text{внеш}} - S_{\text{газон}} = (a + 2x)(b + 2x) - ab
]
Заменим ( a + 2x ) и ( b + 2x ):
[
S_{\text{внеш}} = (a + 1.25)(b + 1.25)
]
Теперь, если подставить в формулу для площади, видим, что если ( S_{\text{внеш}} - S_{\text{газон}} = 3,75 , \text{м}^2 ), у нас получится 375 цветов, так как на каждом квадратном дециметре клумбы растёт один цветок.
Таким образом, на клумбе растёт 375 цветов.
