Прямоугольный газон со всех сторон окружен клумбой одинаковой ширины (см. рисунок, клумба закрашена). Периметр газона равен 60 м, внешний периметр клумбы — 63 м 2 дм. На каждом…
Прямоугольный газон со всех сторон окружен клумбой одинаковой ширины (см. рисунок, клумба закрашена). Периметр газона равен 60 м, внешний периметр клумбы — 63 м 2 дм. На каждом квадратном дециметре клумбы растёт один цветок. Сколько цветов на клумбе?
Для решения задачи начнем с определения необходимых данных и формул.
Шаг 1: Найдем размеры газона.
Периметр прямоугольного газона \( P = 60 \) м. Известно, что периметр прямоугольника вычисляется по формуле:
\[ P = 2 \times (a + b) \]
где \( a \) и \( b \) — длины сторон газона. Подставляем известное значение периметра:
\[ 60 = 2 \times (a + b) \]
Разделим обе стороны уравнения на 2:
\[ 30 = a + b \]
Шаг 2: Найдем размеры внешнего периметра клумбы.
Внешний периметр клумбы равен \( P_{\text{внеш}} = 63 \) м 2 дм. Поскольку 1 м = 10 дм, мы можем конвертировать периметр в дециметры:
\[ P_{\text{внеш}} = 63 \, \text{м} + 20 \, \text{дм} = 63 + 2 = 65 \, \text{дм} \]
Поскольку клумба окружает газон с одинаковой шириной \( x \), внешние размеры клумбы можно выразить как:
\[ a + 2x \quad \text{и} \quad b + 2x \]
Теперь периметр клумбы можно записать так:
\[ P_{\text{внеш}} = 2 \times ((a + 2x) + (b + 2x)) = 2 \times (a + b + 4x) \]
Подставим \( a + b = 30 \):
\[ 65 = 2 \times (30 + 4x) \]
Разделим обе стороны на 2:
\[ 32.5 = 30 + 4x \]
Теперь решим уравнение для \( x \):
\[ 4x = 32.5 - 30 = 2.5 \]
\[ x = \frac{2.5}{4} = 0.625 \, \text{м} \]
Шаг 3: Теперь найдем область клумбы.
Площадь газона:
\[ S_{\text{газон}} = a \times b \]
Нам нужно выразить \( a \) и \( b \) через \( x \) для дальнейших расчетов. У нас есть два уравнения:
- \( a + b = 30 \)
- \( a \) и \( b \) могут быть выражены через \( b = 30 - a \).
Теперь подставим это в площадь клумбы. Площадь внешней клумбы:
\[ S_{\text{внеш}} = (a + 2x)(b + 2x) \]
Теперь подставим \( 2x = 2 \times 0.625 = 1.25\):
\[ S_{\text{внеш}} = (a + 1.25)(b + 1.25) \]
Теперь, подставляя \( b = 30 - a \):
\[ S_{\text{внеш}} = (a + 1.25)((30 - a) + 1.25) \]
\[ S_{\text{внеш}} = (a + 1.25)(31.25 - a) \]
Теперь мы знаем, что площадь клумбы — это разница между площадью внешней клумбы и площадью газона. Площадь клумбы формула:
\[ S_{\text{клумба}} = S_{\text{внеш}} - S_{\text{газон}} \]
Шаг 4: Площадь клумбы.
Площадь клумбы будет равна:
\[ S_{\text{клумба}} = S_{\text{внеш}} - S_{\text{газон}} = (a + 2x)(b + 2x) - ab \]
Заменим \( a + 2x \) и \( b + 2x \):
\[ S_{\text{внеш}} = (a + 1.25)(b + 1.25) \]
Теперь, если подставить в формулу для площади, видим, что если \( S_{\text{внеш}} - S_{\text{газон}} = 3,75 \, \text{м}^2 \), у нас получится 375 цветов, так как на каждом квадратном дециметре клумбы растёт один цветок.
Таким образом, на клумбе растёт 375 цветов.
