Погостив у бабушки, лицеист Петя отправился домой через дремучий лес со своей собакой Пуговкой. Петя всё время шёл с постоянной скоростью 80 м/мин. Пуговка сперва шла рядом, а…

Для решения этой задачи давайте разберем информацию пошагово.

1. Условия задачи:

   • Петя идёт со скоростью 80 м/мин.
   • Пуговка вначале шла с Петей, затем в 15:45 побежала вперёд, увеличив свою скорость в 2 раза.
   • Пуговка вернулась обратно к Пете к 16:05.

2. Определим время, которое Пуговка провела в пути:

   • Пуговка начала бежать в 15:45 и вернулась к 16:05.
   • Время её отсутствия = 16:05 - 15:45 = 20 минут.

3. Скорости движения:

   • Скорость Пети = 80 м/мин.
   • Скорость Пуговки во время бега = 2 * 80 м/мин = 160 м/мин.

4. Обозначим время, которое Пуговка провела в пути:

   • Пуговка ушла вперёд, дошла до полянки, проверила её и вернулась обратно.

5. Обозначим расстояние до полянки:

   • Пуговка добежала до полянки, а затем вернулась к Пете. Если обозначить расстояние до полянки как \( d \) метров, тогда:
     • Время, которое Пуговка потратила на путь до полянки = \( d / 160 \) минут.
     • Время, которое она потратила на путь обратно = \( d / 160 \) минут.

6. Общее время на пути:

   • Общее время Пуговки на пути = \( d / 160 + d / 160 = 2 * (d / 160) = 20 минут \).

7. Решим уравнение:

   • \( \frac{2d}{160} = 20 \)
   • Упростим:
     • \( \frac{d}{80} = 20 \)
     • \( d = 1600 \) метров — это расстояние до полянки.

8. Теперь найдем время, которое Пуговка провела на полянке:

   • Время в пути для Пуговки (в одну сторону) = \( 1600 / 160 = 10 \) минут.
   • Таким образом, если она ушла в 15:45 и проехала 10 минут до полянки, то времени, когда она достигла полянки:
     • 15:45 + 10 минут = 15:55.

9. Ответ:

   • Пуговка была на самой тёмной полянке в 15:55.

Таким образом, ответ на задачу: Пуговка была на самой тёмной полянке в 15:55.