Погостив у бабушки, лицеист Петя отправился домой через дремучий лес со своей собакой Пуговкой. Петя всё время шёл с постоянной скоростью 80 м/мин. Пуговка сперва шла рядом, а затем, учуяв опасность на самой тёмной полянке леса, в 15:45 побежала вперёд, увеличив при этом свою скорость в 2 раза. Добежав до полянки и мгновенно всё проверив, она вернулась обратно к Пете в 16:05. Дальше они снова шли вместе. В какое время на самой тёмной полянке была Пуговка?

Для решения этой задачи давайте разберем информацию пошагово. 1. **Условия задачи:** - Петя идёт со скоростью 80 м/мин. - Пуговка вначале шла с Петей, затем в 15:45 побежала вперёд, увеличив свою скорость в 2 раза. - Пуговка вернулась обратно к Пете к 16:05. 2. **Определим время, которое Пуговка провела в пути:** - Пуговка начала бежать в 15:45 и вернулась к 16:05. - Время её отсутствия = 16:05 - 15:45 = 20 минут. 3. **Скорости движения:** - Скорость Пети = 80 м/мин. - Скорость Пуговки во время бега = 2 * 80 м/мин = 160 м/мин. 4. **Обозначим время, которое Пуговка провела в пути:** - Пуговка ушла вперёд, дошла до полянки, проверила её и вернулась обратно. 5. **Обозначим расстояние до полянки:** - Пуговка добежала до полянки, а затем вернулась к Пете. Если обозначить расстояние до полянки как \( d \) метров, тогда: - Время, которое Пуговка потратила на путь до полянки = \( d / 160 \) минут. - Время, которое она потратила на путь обратно = \( d / 160 \) минут. 6. **Общее время на пути:** - Общее время Пуговки на пути = \( d / 160 + d / 160 = 2 * (d / 160) = 20 минут \). 7. **Решим уравнение:** - \( \frac{2d}{160} = 20 \) - Упростим: - \( \frac{d}{80} = 20 \) - \( d = 1600 \) метров — это расстояние до полянки. 8. **Теперь найдем время, которое Пуговка провела на полянке:** - Время в пути для Пуговки (в одну сторону) = \( 1600 / 160 = 10 \) минут. - Таким образом, если она ушла в 15:45 и проехала 10 минут до полянки, то времени, когда она достигла полянки: - 15:45 + 10 минут = 15:55. 9. **Ответ:** - Пуговка была на самой тёмной полянке в 15:55. Таким образом, ответ на задачу: **Пуговка была на самой тёмной полянке в 15:55.**