Брусок массой M = 0,5 кг, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикрепили пружиной жёсткостью k = 6000 Н/м к стене. В брусок попадает пластилиновый шарик массой m = 5 г,…
Брусок массой M = 0,5 кг, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикрепили пружиной жёсткостью k = 6000 Н/м к стене. В брусок попадает пластилиновый шарик массой m = 5 г, летящий горизонтально со скоростью υ = 10 м/с. Брусок вместе с шариком начинает колебаться. Найдите амплитуду xmax этих колебаний.
Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса и уравнениями гармонических колебаний.
Шаг 1: Найдем первоначальные данные
- Масса бруска \( M = 0.5 \) кг (переведем в граммы: \( M = 500 \) г)
- Масса шарика \( m = 5 \) г
- Скорость шарика \( v = 10 \) м/с
- Жесткость пружины \( k = 6000 \) Н/м
Шаг 2: Найдем общую массу системы
После столкновения бруска и шарика они начинают двигаться вместе, поэтому их общая масса \( M_{total} \) будет:
\[ M_{total} = M + m = 0.5 \, \text{кг} + 0.005 \, \text{кг} = 0.505 \, \text{кг} \]
Шаг 3: Используем закон сохранения импульса
Сохраним импульс до и после столкновения. Импульс шарика до столкновения:
\[ p_{initial} = m \cdot v = 0.005 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{м/с} = 0.05 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
После столкновения брусок и шарик движутся вместе с некоторой скоростью \( V \).
\[ p_{final} = M_{total} \cdot V \]
По закону сохранения импульса:
\[ p_{initial} = p_{final} \] \[ 0.05 = 0.505 \cdot V \]
Найдём скорость \( V \):
\[ V = \frac{0.05}{0.505} \approx 0.099 \, \text{м/с} \]
Шаг 4: Найдем максимальное удлинение пружины (амплитуду колебаний)
При столкновении вся кинетическая энергия шарика передается на систему "брусок + шарик", и эта энергия превращается в потенциальную энергию деформированной пружины.
Кинетическая энергия системы после столкновения:
\[ KE = \frac{1}{2} M_{total} V^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.505 \cdot (0.099)^2 \]
Рассчитаем:
\[ KE \approx \frac{1}{2} \cdot 0.505 \cdot 0.009801 = \frac{0.505 \cdot 0.004905}{2} \approx 0.001237 \, \text{Дж} \]
Потенциальная энергия пружины при максимальном удлинении (амплитуде) равна:
\[ PE = \frac{1}{2} k x_{max}^2 \]
Согласуем энергию:
\[ KE = PE \implies \frac{1}{2} M_{total} V^2 = \frac{1}{2} k x_{max}^2 \]
Упрощаем и решаем для \( x_{max} \):
\[ 0.001237 = \frac{1}{2} \cdot 6000 \cdot x_{max}^2 \] \[ 0.001237 = 3000 \cdot x_{max}^2 \] \[ x_{max}^2 = \frac{0.001237}{3000} \] \[ x_{max}^2 \approx 4.1233 \cdot 10^{-7} \implies x_{max} \approx \sqrt{4.1233 \cdot 10^{-7}} \approx 0.000642 \, \text{м} \approx 0.642 \, \text{мм} \]
Ответ
Амплитуда максимальных колебаний \( x_{max} \approx 0.642 \) мм.
