Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса и уравнениями гармонических колебаний.
Шаг 1: Найдем первоначальные данные
- Масса бруска ( M = 0.5 ) кг (переведем в граммы: ( M = 500 ) г)
- Масса шарика ( m = 5 ) г
- Скорость шарика ( v = 10 ) м/с
- Жесткость пружины ( k = 6000 ) Н/м
Шаг 2: Найдем общую массу системы
После столкновения бруска и шарика они начинают двигаться вместе, поэтому их общая масса ( M_{total} ) будет:
[
M_{total} = M + m = 0.5 , \text{кг} + 0.005 , \text{кг} = 0.505 , \text{кг}
]
Шаг 3: Используем закон сохранения импульса
Сохраним импульс до и после столкновения. Импульс шарика до столкновения:
[
p_{initial} = m \cdot v = 0.005 , \text{кг} \cdot 10 , \text{м/с} = 0.05 , \text{кг} \cdot \text{м/с}
]
После столкновения брусок и шарик движутся вместе с некоторой скоростью ( V ).
[
p_{final} = M_{total} \cdot V
]
По закону сохранения импульса:
[
p_{initial} = p_{final}
]
[
0.05 = 0.505 \cdot V
]
Найдём скорость ( V ):
[
V = \frac{0.05}{0.505} \approx 0.099 , \text{м/с}
]
Шаг 4: Найдем максимальное удлинение пружины (амплитуду колебаний)
При столкновении вся кинетическая энергия шарика передается на систему "брусок + шарик", и эта энергия превращается в потенциальную энергию деформированной пружины.
Кинетическая энергия системы после столкновения:
[
KE = \frac{1}{2} M_{total} V^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.505 \cdot (0.099)^2
]
Рассчитаем:
[
KE \approx \frac{1}{2} \cdot 0.505 \cdot 0.009801 = \frac{0.505 \cdot 0.004905}{2} \approx 0.001237 , \text{Дж}
]
Потенциальная энергия пружины при максимальном удлинении (амплитуде) равна:
[
PE = \frac{1}{2} k x_{max}^2
]
Согласуем энергию:
[
KE = PE \implies \frac{1}{2} M_{total} V^2 = \frac{1}{2} k x_{max}^2
]
Упрощаем и решаем для ( x_{max} ):
[
0.001237 = \frac{1}{2} \cdot 6000 \cdot x_{max}^2
]
[
0.001237 = 3000 \cdot x_{max}^2
]
[
x_{max}^2 = \frac{0.001237}{3000}
]
[
x_{max}^2 \approx 4.1233 \cdot 10^{-7} \implies x_{max} \approx \sqrt{4.1233 \cdot 10^{-7}} \approx 0.000642 , \text{м} \approx 0.642 , \text{мм}
]
Ответ
Амплитуда максимальных колебаний ( x_{max} \approx 0.642 ) мм.
