Брусок массой M = 0,5 кг, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикрепили пружиной жёсткостью k = 6000 Н/м к стене. В брусок попадает пластилиновый шарик массой m = 5 г,…
Брусок массой M = 0,5 кг, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикрепили пружиной жёсткостью k = 6000 Н/м к стене. В брусок попадает пластилиновый шарик массой m = 5 г, летящий горизонтально со скоростью υ = 10 м/с. Брусок вместе с шариком начинает колебаться. Найдите амплитуду xmax этих колебаний.
Для решения задачи начнем с того, что у нас есть система из бруска и пластилинового шарика, которая начинает колебаться после столкновения. Мы можем использовать закон сохранения импульса и уравнение для колебаний гармонической системы, чтобы найти амплитуду колебаний.
Шаг 1: Найти скорость бруска вместе с шариком после столкновения
Сначала рассчитаем импульс, который передастся бруску от шарика. По закону сохранения импульса у нас есть:
\[ m \cdot v = (M + m) \cdot V \]
где:
- \( m = 0,005 \, \text{кг} \) (масса шарика, переведенная в килограммы),
- \( v = 10 \, \text{м/с} \) (скорость шарика),
- \( M = 0,5 \, \text{кг} \) (масса бруска),
- \( V \) — общая скорость бруска и шарика после столкновения.
Подставим известные значения в формулу:
\[ 0,005 \cdot 10 = (0,5 + 0,005) \cdot V \]
\[ 0,05 = 0,505 \cdot V \]
Теперь выразим \( V \):
\[ V = \frac{0,05}{0,505} \approx 0,099 \, \text{м/с} \]
Шаг 2: Найти максимальное смещение (амплитуду) колебаний
Когда шарик прилипает к бруску, создается энергия, которая будет преобразована в колебания системы. Кинетическая энергия системы сразу после столкновения равна:
\[ E_k = \frac{1}{2} (M + m) V^2 = \frac{1}{2} (0,5 + 0,005) \cdot (0,099)^2 \]
Теперь рассчитаем эту энергию:
\[ E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,505 \cdot (0,099)^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 0,505 \cdot 0,009801 = 0,00248 \, \text{Дж} \]
Энергия в системе при максимальном смещении (амплитуде) будет равна энергии потенциальной, упругой энергии пружины:
\[ E_k = E_p = \frac{1}{2} k x_{max}^2 \]
где \( k = 6000 \, \text{Н/м} \) — жёсткость пружины.
Приравняем кинетическую и потенциальную энергии:
\[ 0,00248 = \frac{1}{2} \cdot 6000 \cdot x_{max}^2 \]
Шаг 3: Найти амплитуду \( x_{max} \)
Теперь выразим \( x_{max}^2 \):
\[ 0,00248 = 3000 \cdot x_{max}^2 \]
\[ x_{max}^2 = \frac{0,00248}{3000} \approx 8.27 \times 10^{-7} \]
Теперь найдём \( x_{max} \):
\[ x_{max} = \sqrt{8.27 \times 10^{-7}} \approx 0,00091 \, \text{м} \approx 0,91 \, \text{мм} \]
Ответ
Амплитуда \( x_{max} \) колебаний бруска вместе с шариком приблизительно равна 0,91 мм.
