Для решения задачи начнем с того, что у нас есть система из бруска и пластилинового шарика, которая начинает колебаться после столкновения. Мы можем использовать закон сохранения импульса и уравнение для колебаний гармонической системы, чтобы найти амплитуду колебаний.
Шаг 1: Найти скорость бруска вместе с шариком после столкновения
Сначала рассчитаем импульс, который передастся бруску от шарика. По закону сохранения импульса у нас есть:
[
m \cdot v = (M + m) \cdot V
]
где:
- ( m = 0,005 , \text{кг} ) (масса шарика, переведенная в килограммы),
- ( v = 10 , \text{м/с} ) (скорость шарика),
- ( M = 0,5 , \text{кг} ) (масса бруска),
- ( V ) — общая скорость бруска и шарика после столкновения.
Подставим известные значения в формулу:
[
0,005 \cdot 10 = (0,5 + 0,005) \cdot V
]
[
0,05 = 0,505 \cdot V
]
Теперь выразим ( V ):
[
V = \frac{0,05}{0,505} \approx 0,099 , \text{м/с}
]
Шаг 2: Найти максимальное смещение (амплитуду) колебаний
Когда шарик прилипает к бруску, создается энергия, которая будет преобразована в колебания системы. Кинетическая энергия системы сразу после столкновения равна:
[
E_k = \frac{1}{2} (M + m) V^2 = \frac{1}{2} (0,5 + 0,005) \cdot (0,099)^2
]
Теперь рассчитаем эту энергию:
[
E_k = \frac{1}{2} \cdot 0,505 \cdot (0,099)^2 \approx \frac{1}{2} \cdot 0,505 \cdot 0,009801 = 0,00248 , \text{Дж}
]
Энергия в системе при максимальном смещении (амплитуде) будет равна энергии потенциальной, упругой энергии пружины:
[
E_k = E_p = \frac{1}{2} k x_{max}^2
]
где ( k = 6000 , \text{Н/м} ) — жёсткость пружины.
Приравняем кинетическую и потенциальную энергии:
[
0,00248 = \frac{1}{2} \cdot 6000 \cdot x_{max}^2
]
Шаг 3: Найти амплитуду ( x_{max} )
Теперь выразим ( x_{max}^2 ):
[
0,00248 = 3000 \cdot x_{max}^2
]
[
x_{max}^2 = \frac{0,00248}{3000} \approx 8.27 \times 10^{-7}
]
Теперь найдём ( x_{max} ):
[
x_{max} = \sqrt{8.27 \times 10^{-7}} \approx 0,00091 , \text{м} \approx 0,91 , \text{мм}
]
Ответ
Амплитуда ( x_{max} ) колебаний бруска вместе с шариком приблизительно равна 0,91 мм.
