Реши задачу по геометрии 7 класс № 2. В треугольнике ABC угол A=90° угол В - 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что угол DBС=30° DA=4 см. Найдите АС и расстояние от точки D…

Чтобы решить задачу, давайте разобьем её на несколько этапов. Нам дан треугольник ABC, в котором угол A равен 90°, угол B — 60°, и нам необходимо найти длину стороны AC и расстояние от точки D до стороны BC.

Шаг 1: Найдем угол C

В треугольнике сумма углов равна 180°. Угол C можно найти по формуле: \[ \angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 90° - 60° = 30° \]

Шаг 2: Найдем стороны треугольника ABC

Мы знаем, что в треугольнике ABC угол A равен 90°, угол B равен 60°, а угол C равен 30°. Треугольник ABC является прямоугольным треугольником с углом 30° при вершине C.

В этом треугольнике применим соотношения для сторон:

• Противолежащая сторона к углу 30° (BC) равна половине гипотенузы (AB).
• Противолежащая сторона к углу 60° (AC) равна гипотенузе умноженной на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Обозначим:

• AB = c (гипотенуза),
• AC = b (противолежащая сторона к углу B),
• BC = a (противолежащая сторона к углу C).

Шаг 3: Установим свойства треугольника

Так как у нас есть угол 30°, можем установить пропорции:

• \[ a = \frac{c}{2} \]
• \[ b = \frac{c \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Шаг 4: Найдем сторону BC(AC) и AB, используя точку D

Дано, что DA = 4 см и DA перпендикулярна BC. Таким образом, поверхность треугольника ADC также является прямоугольным треугольником и AD является противолежащей стороной к углу C (30°).

По теореме синусов в треугольнике ADC: \[ \frac{AD}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(DAB)} \] Мы знаем угол C (30°) и угол DAB (60°):

• \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\)
• \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставляем в формулу: \[ \frac{4}{\frac{1}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Упростим выражение: \[ 8 = \frac{AC \cdot 2}{\sqrt{3}} \] \[ AC = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \]

Шаг 5: Найдем расстояние от D до BC

Расстояние от точки до прямой (в данном случае от точки D до стороны BC) — это длина перпендикуляра, который у нас уже был (DA). Эта длина равна 4 см.

Ответы:

• Длина стороны AC = \( 4\sqrt{3} \) см.
• Расстояние от точки D до стороны BC = 4 см.

Таким образом, мы нашли и рассмотрели оба вопроса, используя свойства треугольника и отношения сторон в нем.