При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения х? + 4ах — 7 = 0 является наименьшей?

Чтобы найти значение параметра \( a \), при котором сумма квадратов корней уравнения \( x^2 + 4ax - 7 = 0 \) будет наименьшей, начнем с анализа уравнения.

1. Определим корни уравнения.
   У нас есть квадратное уравнение в виде: \[ x^2 + 4ax - 7 = 0. \] По формуле дискриминанта можно найти корни: \[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 1 \), \( b = 4a \), \( c = -7 \). Подставляем значения: \[ D = (4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16a^2 + 28. \] Поскольку дискриминант \( D \) всегда положителен при любом \( a \), у нас всегда будут два действительных корня.

2. Вычислим корни уравнения.
   Корни уравнения находятся по формуле: \[ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4a \pm \sqrt{16a^2 + 28}}{2}. \]

3. Сумма квадратов корней.
   Обозначим корни как \( x_1 \) и \( x_2 \). Сумма квадратов корней выражается как: \[ S = x_1^2 + x_2^2. \] Сумма квадратов корней может быть вычислена с использованием соотношения: \[ S = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2, \] где:

   • \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{4a}{1} = -4a. \)
   • \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{1} = -7. \)

   Подставляем: \[ S = (-4a)^2 - 2(-7) = 16a^2 + 14. \]

4. Минимизация суммы квадратов.
   Теперь мы пытаемся минимизировать \( S = 16a^2 + 14 \). Эта функция является параболой, открытой вверх, и минимальная сумма квадратов достигается в её вершинной точке, которую можно найти по формуле: \[ a_{\text{min}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 16} = 0. \] Это означает, что при \( a = 0 \) сумма квадратов корней минимальна.

5. Подводим итог.
   Таким образом, значение параметра \( a \), при котором сумма квадратов корней уравнения \( x^2 + 4ax - 7 = 0 \) является наименьшей, равно: \[ a = 0. \]

При этом минимальная сумма квадратов корней равна 14.