док-ть что 2 в 18 степени минус 5 в 6 степени кратно 6
Чтобы доказать, что \(2^{18} - 5^{6}\) кратно \(6\), нужно проверить, делится ли данный выражение на \(2\) и на \(3\), так как \(6 = 2 \cdot 3\).
Шаг 1: Проверим делимость на 2.
Расмотрим по отдельности \(2^{18}\) и \(5^6\):
- \(2^{18}\) — чётное число, следовательно, оно делится на \(2\).
- \(5^{6}\) — это нечётное число, следовательно, оно не делится на \(2\).
Теперь находим \(2^{18} - 5^{6}\):
- Чётное число ( \(2^{18}\) ) минус нечётное число ( \(5^{6}\) ) даёт чётное число.
Таким образом, \(2^{18} - 5^{6}\) делится на \(2\).
Шаг 2: Проверим делимость на 3.
Для проверки делимости на \(3\), можем использовать остатки от деления на \(3\):
\(2 \mod 3 = 2\), следовательно, \[ 2^{18} \mod 3 = (2^1)^{18} \mod 3 = 2^{18} \mod 3. \] Заметим, что \(2^1 \equiv 2\) и \(2^2 \equiv 1\) (по модулю \(3\)).
Поскольку \(18\) — чётное число, \[ 2^{18} \equiv (2^2)^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \mod 3. \]
\(5 \mod 3 = 2\), следовательно, \[ 5^{6} \mod 3 \equiv (2^1)^6 \mod 3 = 2^{6} \mod 3. \] Поскольку \(2^2 \equiv 1 \mod 3\), \[ 2^6 \equiv (2^2)^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod 3. \]
Теперь подставим результаты: \[ 2^{18} - 5^{6} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3. \]
Заключение:
Таким образом, мы доказали, что \(2^{18} - 5^{6}\) делится на \(2\) и на \(3\). Поскольку оно делится и на \(2\), и на \(3\), это значит, что \(2^{18} - 5^{6}\) кратно \(6\).
Ответ: \(2^{18} - 5^{6}\) кратно \(6\).
