Чтобы доказать, что (2^{18} - 5^{6}) кратно (6), нужно проверить, делится ли данный выражение на (2) и на (3), так как (6 = 2 \cdot 3).
Шаг 1: Проверим делимость на 2.
Расмотрим по отдельности (2^{18}) и (5^6):
- (2^{18}) — чётное число, следовательно, оно делится на (2).
- (5^{6}) — это нечётное число, следовательно, оно не делится на (2).
Теперь находим (2^{18} - 5^{6}):
- Чётное число ( (2^{18}) ) минус нечётное число ( (5^{6}) ) даёт чётное число.
Таким образом, (2^{18} - 5^{6}) делится на (2).
Шаг 2: Проверим делимость на 3.
Для проверки делимости на (3), можем использовать остатки от деления на (3):
(2 \mod 3 = 2), следовательно,
[
2^{18} \mod 3 = (2^1)^{18} \mod 3 = 2^{18} \mod 3.
]
Заметим, что (2^1 \equiv 2) и (2^2 \equiv 1) (по модулю (3)).
Поскольку (18) — чётное число,
[
2^{18} \equiv (2^2)^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \mod 3.
]
(5 \mod 3 = 2), следовательно,
[
5^{6} \mod 3 \equiv (2^1)^6 \mod 3 = 2^{6} \mod 3.
]
Поскольку (2^2 \equiv 1 \mod 3),
[
2^6 \equiv (2^2)^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \mod 3.
]
Теперь подставим результаты:
[
2^{18} - 5^{6} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3.
]
Заключение:
Таким образом, мы доказали, что (2^{18} - 5^{6}) делится на (2) и на (3). Поскольку оно делится и на (2), и на (3), это значит, что (2^{18} - 5^{6}) кратно (6).
Ответ: (2^{18} - 5^{6}) кратно (6).
