Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 28 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…
Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 28 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 63 часа. За сколько часов мог бы оформить учебник алгебры каждый дизайнер, работая отдельно?
Чтобы решить задачу, давайте обозначим время, которое каждый дизайнер тратит на оформление учебника, как \( t_1 \) и \( t_2 \). Пусть \( t_1 \) — время, необходимое первому дизайнеру для выполнения работы в одиночку, а \( t_2 \) — время для второго дизайнера.
Составим уравнения на основе данных:
Из условия задачи мы знаем, что оба дизайнера, работая вместе, закончили работу за 28 часов. Это значит, что их совместная работа может быть описана следующим образом:
\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{28} \]
Это первое уравнение.
Второе уравнение:
Далее, если половину работы выполнил один дизайнер, а оставшуюся половину — другой, то задача была бы выполнена за 63 часа. Таким образом, первый дизайнер выполнит свою половину за \( \frac{t_1}{2} \), а второй завершит свою половину за \( \frac{t_2}{2} \). Общее время выполнения работы в этом случае будет равно:
\[ \frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 63 \]
Упростив это равенство, получаем:
\[ t_1 + t_2 = 126 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{28} \] \[ t_1 + t_2 = 126 \]
Выразим одно из переменных через другое:
Из второго уравнения выразим \( t_2 \):
\[ t_2 = 126 - t_1 \]
Подставим это выражение во первое уравнение:
Подставив \( t_2 \) в первое уравнение, получаем:
\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{126 - t_1} = \frac{1}{28} \]
Умножим все уравнение на \( t_1(126 - t_1) \cdot 28 \):
Таким образом, получится:
\[ 28(126 - t_1) + 28t_1 = t_1(126 - t_1) \]
Раскроем скобки:
\[ 3528 - 28t_1 + 28t_1 = 126t_1 - t_1^2 \]
Упрощаем уравнение:
\[ t_1^2 - 126t_1 + 3528 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
Применим квадратную формулу \( t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) с \( a = 1, b = -126, c = 3528 \):
\[ t_1 = \frac{126 \pm \sqrt{(-126)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3528}}{2 \cdot 1} \]
Расчитаем дискриминант:
\[ (-126)^2 = 15876 \] \[ 4 \cdot 1 \cdot 3528 = 14112 \] \[ D = 15876 - 14112 = 1764 \]
Находим корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{1764} = 42 \]
Теперь подставляем в формулу:
\[ t_1 = \frac{126 \pm 42}{2} \]
Это дает два значения:
\[ t_1 = \frac{168}{2} = 84 \quad \text{и} \quad t_1 = \frac{84}{2} = 21 \]
Находим \( t_2 \):
Если \( t_1 = 84 \):
\[ t_2 = 126 - 84 = 42 \]
Если \( t_1 = 21 \):
\[ t_2 = 126 - 21 = 105 \]
- Итак, возможные исходы:
Первый дизайнер может оформить учебник за 84 часа, а второй — за 42 часа.
Или первый дизайнер за 21 час, а второй за 105 часов.
Таким образом, решения задачи по времени, необходимому каждому дизайнеру для выполнения работы в одиночку, таковы:
- Первый дизайнер: 84 часа; Второй дизайнер: 42 часа или
- Первый дизайнер: 21 час; Второй дизайнер: 105 часов
