Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Найдите радиус шара, если площадь сечения равна 192π.

Для решения задачи сначала разберемся с первой частью: ### Задача 1: Найти радиус шара Условие: Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Площадь сечения равна \(192π\). **Шаги решения:** 1. **Понятие круга сечения:** - Когда плоскость проходит через центр шара перпендикулярно радиусу, она образует сечение в виде круга, которое делит шар на две равные части. 2. **Формула площади круга:** - Площадь круга \(S\) выражается формулой: \[ S = \pi r^2 \] - Где \(r\) — радиус круга. 3. **Подставим известные данные:** - Площадь сечения \(S = 192π\). 4. **Находим радиус сечения (полурадиус шара):** \[ \pi r^2 = 192\pi \] \[ r^2 = 192 \] \[ r = \sqrt{192} \] 5. **Оптимизация корня:** - \(\sqrt{192} = \sqrt{16 \times 12} = 4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \times 3} = 4 \times 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}\) Таким образом, радиус шара \(R\) равен \(16 \sqrt{3}\), так как круг сечения — это половина радиуса шара. ### Задача 2: Найти длину вектора Условие: Даны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) с длинами \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = 2 \), угол между ними равен \(60^\circ\). Найдите длину вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\). **Шаги решения:** 1. **Формула для длины вектора:** - Длина вектора \(\vec{c} = \vec{p} - \vec{q}\) определяется как: \[ |\vec{c}| = \sqrt{|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - 2|\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta} \] - Где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\). 2. **Подставим известные данные:** - Вектор, длину которого надо найти: \(2\vec{a} - \vec{b}\). - Длины: \( |2\vec{a}| = 2 \times 1 = 2 \), \( |\vec{b}| = 2 \). - Угол \(\theta = 60^\circ\), поэтому \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). 3. **Вычисляем длину:** \[ |2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|2\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|2\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ} \] \[ = \sqrt{2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \times \frac{1}{2}} \] \[ = \sqrt{4 + 4 - 4} \] \[ = \sqrt{4} = 2 \] Длина вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\) равна \(2\). --- Надеюсь, эти разъяснения помогут вам лучше понять решение задач!