Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Найдите радиус шара, если площадь сечения равна 192π.
Для решения задачи сначала разберемся с первой частью:
Задача 1: Найти радиус шара
Условие: Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Площадь сечения равна \(192π\).
Шаги решения:
Понятие круга сечения:
- Когда плоскость проходит через центр шара перпендикулярно радиусу, она образует сечение в виде круга, которое делит шар на две равные части.
Формула площади круга:
- Площадь круга \(S\) выражается формулой: \[ S = \pi r^2 \]
- Где \(r\) — радиус круга.
Подставим известные данные:
- Площадь сечения \(S = 192π\).
Находим радиус сечения (полурадиус шара): \[ \pi r^2 = 192\pi \] \[ r^2 = 192 \] \[ r = \sqrt{192} \]
Оптимизация корня:
- \(\sqrt{192} = \sqrt{16 \times 12} = 4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \times 3} = 4 \times 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}\)
Таким образом, радиус шара \(R\) равен \(16 \sqrt{3}\), так как круг сечения — это половина радиуса шара.
Задача 2: Найти длину вектора
Условие: Даны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) с длинами \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = 2 \), угол между ними равен \(60^\circ\). Найдите длину вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\).
Шаги решения:
Формула для длины вектора:
- Длина вектора \(\vec{c} = \vec{p} - \vec{q}\) определяется как: \[ |\vec{c}| = \sqrt{|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - 2|\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta} \]
- Где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\).
Подставим известные данные:
- Вектор, длину которого надо найти: \(2\vec{a} - \vec{b}\).
- Длины: \( |2\vec{a}| = 2 \times 1 = 2 \), \( |\vec{b}| = 2 \).
- Угол \(\theta = 60^\circ\), поэтому \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).
Вычисляем длину: \[ |2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|2\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|2\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ} \] \[ = \sqrt{2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \times \frac{1}{2}} \] \[ = \sqrt{4 + 4 - 4} \] \[ = \sqrt{4} = 2 \]
Длина вектора \(2\vec{a} - \vec{b}\) равна \(2\).
Надеюсь, эти разъяснения помогут вам лучше понять решение задач!
