X-2/x+1-3-x/x+1=8/x²-1

Для решения уравнения \( \frac{x - 2}{x + 1} - \frac{3 - x}{x + 1} = \frac{8}{x^2 - 1} \) давайте сделаем это пошагово. ### Шаг 1: Объединение дробей На левой стороне уравнения у нас два дробных выражения с одинаковым знаменателем \( x + 1 \). Мы можем объединить их: \[ \frac{x - 2 - (3 - x)}{x + 1} = \frac{x - 2 - 3 + x}{x + 1} = \frac{2x - 5}{x + 1} \] Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{2x - 5}{x + 1} = \frac{8}{x^2 - 1} \] ### Шаг 2: Упрощение правой стороны Заметим, что \( x^2 - 1 \) можно разложить на множители: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] Теперь можем переписать уравнение: \[ \frac{2x - 5}{x + 1} = \frac{8}{(x - 1)(x + 1)} \] ### Шаг 3: Умножение обеих сторон на \( (x - 1)(x + 1) \) Умножим обе стороны уравнения на \( (x - 1)(x + 1) \), чтобы избавиться от дробей (при этом \( x + 1 \) не должно равняться нулю, т.е. \( x \neq -1 \)): \[ (2x - 5)(x - 1) = 8 \] ### Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение Раскроем скобки: \[ 2x^2 - 2x - 5x + 5 = 8 \] Это упрощается до: \[ 2x^2 - 7x + 5 = 8 \] Переносим все на одну сторону уравнения: \[ 2x^2 - 7x + 5 - 8 = 0 \] \[ 2x^2 - 7x - 3 = 0 \] ### Шаг 5: Решение квадратного уравнения Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( 2x^2 - 7x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73 \] ### Шаг 6: Находим корни Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{4} \] Таким образом, у нас два корня: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{73}}{4}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{73}}{4} \] ### Шаг 7: Проверка решений Не забудьте проверить найденные корни, подставив их в первоначальное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют ему, и что \( x \) не равен -1, так как это значение делает один из знаменателей нулевым. ### Итог Таким образом, решения уравнения: \[ x = \frac{7 + \sqrt{73}}{4} \quad \text{и} \quad x = \frac{7 - \sqrt{73}}{4} \]