x-2/x+1-3-x/x+1=8/x²-1

Для решения уравнения \( \frac{x - 2}{x + 1} - \frac{3 - x}{x + 1} = \frac{8}{x^2 - 1} \) давайте сделаем это пошагово.

Шаг 1: Объединение дробей

На левой стороне уравнения у нас два дробных выражения с одинаковым знаменателем \( x + 1 \). Мы можем объединить их:

\[ \frac{x - 2 - (3 - x)}{x + 1} = \frac{x - 2 - 3 + x}{x + 1} = \frac{2x - 5}{x + 1} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{2x - 5}{x + 1} = \frac{8}{x^2 - 1} \]

Шаг 2: Упрощение правой стороны

Заметим, что \( x^2 - 1 \) можно разложить на множители:

\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]

Теперь можем переписать уравнение:

\[ \frac{2x - 5}{x + 1} = \frac{8}{(x - 1)(x + 1)} \]

Шаг 3: Умножение обеих сторон на \( (x - 1)(x + 1) \)

Умножим обе стороны уравнения на \( (x - 1)(x + 1) \), чтобы избавиться от дробей (при этом \( x + 1 \) не должно равняться нулю, т.е. \( x \neq -1 \)):

\[ (2x - 5)(x - 1) = 8 \]

Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки:

\[ 2x^2 - 2x - 5x + 5 = 8 \]

Это упрощается до:

\[ 2x^2 - 7x + 5 = 8 \]

Переносим все на одну сторону уравнения:

\[ 2x^2 - 7x + 5 - 8 = 0 \]

\[ 2x^2 - 7x - 3 = 0 \]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( 2x^2 - 7x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49 + 24 = 73 \]

Шаг 6: Находим корни

Корни уравнения находятся по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{4} \]

Таким образом, у нас два корня:

\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{73}}{4}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{73}}{4} \]

Шаг 7: Проверка решений

Не забудьте проверить найденные корни, подставив их в первоначальное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют ему, и что \( x \) не равен -1, так как это значение делает один из знаменателей нулевым.

Итог

Таким образом, решения уравнения:

\[ x = \frac{7 + \sqrt{73}}{4} \quad \text{и} \quad x = \frac{7 - \sqrt{73}}{4} \]