Чтобы решить задачу, нам нужно проанализировать данную формулу высоты камня:
[ h(t) = -5t^2 + 15t ]
Это квадратная функция, которая описывает движение камня. Чтобы узнать, в течение какого времени камень находится на высоте не менее 10 метров, мы запишем неравенство:
[ h(t) \geq 10 ]
Подставим выражение для ( h(t) ):
[ -5t^2 + 15t \geq 10 ]
Теперь упростим это неравенство. Сначала перенесем 10 на левую сторону:
[ -5t^2 + 15t - 10 \geq 0 ]
Теперь упростим это уравнение, разделив всё на -5 (помним, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):
[ t^2 - 3t + 2 \leq 0 ]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение ( t^2 - 3t + 2 = 0 ), используя дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 ]
Корни уравнения можно найти по формуле:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2} ]
Находим два корня:
- ( t_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 )
- ( t_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1 )
Теперь у нас есть два корня ( t_1 = 2 ) и ( t_2 = 1 ). Это значит, что функция ( t^2 - 3t + 2 \leq 0 ) (где камень находится на высоте не менее 10 метров) будет истинной между корнями 1 и 2.
Теперь можем записать ответ:
Камень находился на высоте не менее 10 метров в промежутке от 1 до 2 секунд. Чтобы найти общее время, мы вычтем:
[ 2 - 1 = 1 \text{ секунда} ]
Таким образом, камень находился на высоте не менее 10 метров 1 секунду.
