На стороне  A C AC треугольника  A B C ABC отмечена точка  D D так, что  A D = 3 AD=3 , D C = 9 DC=9 . Площадь треугольника  A B C ABC равна  72 72 .Найдите площадь треугольника  B C D BCD .

Для решения данной задачи используем свойства площади треугольников и отношение отрезков. 1. **Дано**: - Точка D делит сторону AC треугольника ABC на два отрезка: \( AD = 3 \) и \( DC = 9 \). - Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 72 \). 2. **Найти**: - Площадь треугольника \( BCD \). 3. **Анализ**: Точка D делит сторону AC на два отрезка. Мы можем определить соотношение этих отрезков: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \] Это означает, что отрезок \( AD \) составляет \( \frac{1}{4} \) от всей длины \( AC \) (так как \( AD + DC = 3 + 9 = 12 \), отсюда \( AC = 12 \)). Таким образом: \[ AD : AC = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}. \] Соответственно, \( DC : AC = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \). 4. **Отношение площадей**: Поскольку площадь треугольника пропорциональна основанию, можем сказать, что: \[ \frac{S_{BCD}}{S_{ABC}} = \frac{DC}{AC} = \frac{DC}{AD + DC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}. \] 5. **Найдем площадь треугольника \( BCD \)**: Обозначим площадь треугольника \( BCD \) как \( S_{BCD} \). Тогда имеем: \[ S_{BCD} = S_{ABC} \cdot \frac{DC}{AC} = 72 \cdot \frac{3}{4}. \] 6. **Вычисления**: \[ S_{BCD} = 72 \cdot \frac{3}{4} = 72 \cdot 0.75 = 54. \] Таким образом, площадь треугольника \( BCD \) равна \( 54 \).