Симметричную монету бросили 4 раза. Решка при этом может выпасть 1, 2, 3 или 4 раза, а может не выпасть ни разу. Вероятности этих событий даны в таблице. Найдите вероятность события, противоположного событию: решка выпала неизвестно сколько
раз, но точно не 3 раза.
Для нахождения вероятности события, противоположного событию «решка выпала 3 раза», нам нужно сначала определить все вероятности, связанные с количеством выпавших решек при 4 бросках монеты, а затем вычесть вероятность события «решка выпала 3 раза» из 1.
1. **Определим все возможные случаи**:
- При броске монеты 4 раза возможны ситуации, когда решка может выпасть от 0 до 4 раз.
2. **Определим вероятность событий**:
Если мы имеем данные о вероятностях выпадения решки определенное количество раз, то можем записать их (предположим, что вероятность выпадения решки в каждом броске равна 0,5):
- Вероятность, что решка выпала 0 раз (все орлы): \( P(0) \)
- Вероятность, что решка выпала 1 раз: \( P(1) \)
- Вероятность, что решка выпала 2 раза: \( P(2) \)
- Вероятность, что решка выпала 3 раза: \( P(3) \)
- Вероятность, что решка выпала 4 раза: \( P(4) \)
Мы можем использовать биномиальное распределение для вычисления вероятностей:
\[
P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать k успехов из n),
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае 0,5),
- \( n \) — количество испытаний (4),
- \( k \) — количество успехов (количество выпадений решки).
3. **Подсчитаем вероятности**:
- \( P(0) = C(4, 0) \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16} \)
- \( P(1) = C(4, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
- \( P(2) = C(4, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)
- \( P(3) = C(4, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot 0.5 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
- \( P(4) = C(4, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^0 = 1 \cdot \frac{1}{16} \cdot 1 = \frac{1}{16} \)
4. **Запишем все вероятности**:
- \( P(0) = \frac{1}{16} \)
- \( P(1) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
- \( P(2) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)
- \( P(3) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
- \( P(4) = \frac{1}{16} \)
5. **Находим вероятность события «решка выпала 3 раза»**:
\( P(3) = \frac{1}{4} \).
6. **Находим противоположное событие**:
Вероятность того, что решка выпала не 3 раза, это 1 минус вероятность того, что решка выпала 3 раза:
\[
P(\text{не 3 решки}) = 1 - P(3) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]
Таким образом, вероятность того, что решка выпала не 3 раза, равна \( \frac{3}{4} \) или 75%.
