Вычислите тангенс альфа зная что косинус альфа равен - 1/3 и пи меньше альфа альфа меньше три пи на два

Для вычисления тангенса угла альфа, зная, что косинус альфа равен \(-\frac{1}{3}\), начнем с определения необходимых соотношений между тригонометрическими функциями.

Шаг 1: Найдем синус альфа

Мы знаем, что \(\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}\). Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]

Подставим значение косинуса:

\[ \sin^2(\alpha) + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2(\alpha) + \frac{1}{9} = 1 \]

Теперь перенесем \(\frac{1}{9}\) в правую часть уравнения:

\[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]

Теперь найдём синус альфа:

\[ \sin(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Шаг 2: Определим знак синуса

Учитывая, что \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), мы можем определить, в каком квадранте находится угол альфа. Угол находится в третьем квадранте, где синус отрицательный. Таким образом:

\[ \sin(\alpha) = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Шаг 3: Найдем тангенс альфа

Теперь мы можем найти тангенс угла альфа, используя соотношение:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Подставим найденные значения синуса и косинуса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2} \]

Ответ

Таким образом, тангенс угла альфа равен:

\[ \tan(\alpha) = 2\sqrt{2} \]

Если у вас остались вопросы или требуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!