Окружность описана около квадрата. Площадь круга, находящегося внутри окружности, равна 2π2π. Найди радиус вписанной в этот квадрат окружности.

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть окружность, описанная около квадрата, и нам известна площадь круга, находящегося внутри этой окружности. Нам нужно найти радиус вписанной в этот квадрат окружности. 1. **Площадь круга**: Нам дано, что площадь круга равна \(2\pi\). Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \(r\) - радиус круга. Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти радиус \(r\): \[ \pi r^2 = 2\pi \] Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\pi\): \[ r^2 = 2 \] Затем извлечём квадратный корень: \[ r = \sqrt{2} \] 2. **Связь между радиусами**: Теперь нам нужно понять, как радиус вписанной окружности квадрата связан с радиусом описанной окружности. Для квадрата, если обозначить длину стороны квадрата как \(a\), то радиус описанной окружности \(R\) (то есть той, что окружает квадрат) равен: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] а радиус вписанной окружности \(r_{\text{впис}} = \frac{a}{2}\). 3. **Нахождение стороны квадрата**: Чтобы найти сторону квадрата, нам нужно выразить её через \(R\) и \(r_{\text{впис}}\). У нас есть \(R = \sqrt{2}\) (это радиус круг, который нам известен). Поскольку в этом случае \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), подставляем: \[ \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Теперь решим это уравнение для \(a\): Умножим обе стороны на 2: \[ 2\sqrt{2} = a\sqrt{2} \] Теперь раздельно делим обе стороны на \(\sqrt{2}\): \[ a = 2 \] 4. **Нахождение радиуса вписанной окружности**: Теперь, зная, что \(a = 2\), мы можем найти радиус вписанной окружности (т.е. \(r_{\text{впис}} = \frac{a}{2}\)): \[ r_{\text{впис}} = \frac{2}{2} = 1 \] Таким образом, радиус вписанной в квадрат окружности равен **1**.