Окружность описана около квадрата. Площадь круга, находящегося внутри окружности, равна 2π2π . Найди радиус вписанной в этот квадрат окружности.

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть окружность, описанная около квадрата, и нам известна площадь круга, находящегося внутри этой окружности. Нам нужно найти радиус вписанной в этот квадрат окружности.

1. Площадь круга: Нам дано, что площадь круга равна \(2\pi\). Площадь круга вычисляется по формуле:

   \[ S = \pi r^2 \]

   где \(r\) - радиус круга. Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти радиус \(r\):

   \[ \pi r^2 = 2\pi \]

   Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\pi\):

   \[ r^2 = 2 \]

   Затем извлечём квадратный корень:

   \[ r = \sqrt{2} \]

2. Связь между радиусами: Теперь нам нужно понять, как радиус вписанной окружности квадрата связан с радиусом описанной окружности.

   Для квадрата, если обозначить длину стороны квадрата как \(a\), то радиус описанной окружности \(R\) (то есть той, что окружает квадрат) равен:

   \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

   а радиус вписанной окружности \(r_{\text{впис}} = \frac{a}{2}\).

3. Нахождение стороны квадрата: Чтобы найти сторону квадрата, нам нужно выразить её через \(R\) и \(r_{\text{впис}}\).

   У нас есть \(R = \sqrt{2}\) (это радиус круг, который нам известен). Поскольку в этом случае \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), подставляем:

   \[ \sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

   Теперь решим это уравнение для \(a\):

   Умножим обе стороны на 2:

   \[ 2\sqrt{2} = a\sqrt{2} \]

   Теперь раздельно делим обе стороны на \(\sqrt{2}\):

   \[ a = 2 \]

4. Нахождение радиуса вписанной окружности: Теперь, зная, что \(a = 2\), мы можем найти радиус вписанной окружности (т.е. \(r_{\text{впис}} = \frac{a}{2}\)):

   \[ r_{\text{впис}} = \frac{2}{2} = 1 \]

Таким образом, радиус вписанной в квадрат окружности равен 1.