Чтобы решить задачу, начнем с понимания того, что нам даны элементы арифметической прогрессии (АП).
Ваша задача состоит в том, чтобы найти ( n ) (номер элемента) для заданного значения элемента этой прогрессии при известных параметрах.
Дано:
- ( a_{19} = 11 ) (19-й элемент прогрессии)
- ( a_n = -37 ) (n-й элемент, который мы хотим найти)
- ( d = -4 ) (разность прогрессии)
Формула для n-го элемента арифметической прогрессии выглядит так:
[
a_n = a_1 + (n - 1) d
]
Где:
- ( a_n ) — n-й элемент
- ( a_1 ) — первый элемент прогрессии
- ( d ) — разность прогрессии
- ( n ) — номер элемента
Сначала найдём первый элемент ( a_1 ) через известное значение ( a_{19} ):
[
a_{19} = a_1 + (19 - 1) d = a_1 + 18d
]
Подставим известные значения:
[
11 = a_1 + 18(-4)
]
Теперь упростим уравнение:
[
11 = a_1 - 72
]
[
a_1 = 11 + 72
]
[
a_1 = 83
]
Теперь, когда у нас есть первый элемент ( a_1 ), мы можем выразить n-й элемент ( a_n ):
[
a_n = a_1 + (n - 1)d
]
Подставляем известные значения:
[
-37 = 83 + (n - 1)(-4)
]
Теперь решим это уравнение для ( n ):
[
-37 = 83 - 4(n - 1)
]
[
-37 = 83 - 4n + 4
]
[
-37 = 87 - 4n
]
Переносим все термины с ( n ) в одну сторону:
[
-37 - 87 = -4n
]
[
-124 = -4n
]
Делим обе стороны на -4:
[
n = \frac{124}{4} = 31
]
Таким образом, значение ( n ) равно 31.
Ответ: ( n = 31 )
