Решить

Для решения этой задачи воспользуемся формулой биномиального распределения, которая позволяет найти вероятность получения точно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях Бернулли:

\[ P(X = k) = C^k_n \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C^k_n \) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов.

Для данной задачи:

• \( n = 9 \),
• \( k = 4 \),
• \( p = 0.4 \).

Сначала находим биномиальный коэффициент \( C^4_9 \):

\[ C^4_9 = \frac{9!}{4! \cdot (9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(X = 4) = 126 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^5 \]

Рассчитаем числовые выражения:

\[ (0.4)^4 = 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.0256 \] \[ (0.6)^5 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 = 0.07776 \]

Теперь вычислим \( P(X = 4) \):

\[ P(X = 4) = 126 \cdot 0.0256 \cdot 0.07776 \approx 0.2001 \]

Таким образом, вероятность того, что в серии из 9 испытаний будет ровно 4 успеха, равна примерно \( 0.200 \) после округления до тысячных.