Для решения этой задачи воспользуемся формулой биномиального распределения, которая позволяет найти вероятность получения точно ( k ) успехов в ( n ) испытаниях Бернулли:
[
P(X = k) = C^k_n \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( C^k_n ) — биномиальный коэффициент, равный (\frac{n!}{k!(n-k)!}),
- ( p ) — вероятность успеха в одном испытании,
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество успехов.
Для данной задачи:
- ( n = 9 ),
- ( k = 4 ),
- ( p = 0.4 ).
Сначала находим биномиальный коэффициент ( C^4_9 ):
[
C^4_9 = \frac{9!}{4! \cdot (9-4)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126
]
Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(X = 4) = 126 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^5
]
Рассчитаем числовые выражения:
[
(0.4)^4 = 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.0256
]
[
(0.6)^5 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.6 = 0.07776
]
Теперь вычислим ( P(X = 4) ):
[
P(X = 4) = 126 \cdot 0.0256 \cdot 0.07776 \approx 0.2001
]
Таким образом, вероятность того, что в серии из 9 испытаний будет ровно 4 успеха, равна примерно ( 0.200 ) после округления до тысячных.
