Решить
Для решения задачи используем формулу вероятности для биномиального распределения.
Задача заключается в следующем: найти вероятность того, что при восьмикратном бросании игрального кубика 6 очков выпадет не менее 4, но не более 6 раз.
Параметры:
- Общее количество испытаний (бросков): \( n = 8 \).
- Вероятность успеха в одном испытании (выпадение 6): \( p = \frac{1}{6} \).
- Необходимое количество успехов: от 4 до 6 (включительно).
Формула биномиального распределения:
Вероятность \( P(k) \) получения \( k \) успехов (выпадение 6) в \( n \) испытаниях определяется как:
\[ P(k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), вычисляется как:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Решение:
Найдём вероятность для каждого значения \( k \) от 4 до 6 и сложим их.
- Для \( k = 4 \):
\[ P(4) = C(8, 4) \times \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \left(\frac{5}{6}\right)^4 \]
\[ C(8, 4) = \frac{8!}{4! \times 4!} = 70 \]
\[ P(4) = 70 \times \left(\frac{1}{6}\right)^4 \times \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0.046 \]
- Для \( k = 5 \):
\[ P(5) = C(8, 5) \times \left(\frac{1}{6}\right)^5 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]
\[ C(8, 5) = \frac{8!}{5! \times 3!} = 56 \]
\[ P(5) = 56 \times \left(\frac{1}{6}\right)^5 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 \approx 0.010 \]
- Для \( k = 6 \):
\[ P(6) = C(8, 6) \times \left(\frac{1}{6}\right)^6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^2 \]
\[ C(8, 6) = \frac{8!}{6! \times 2!} = 28 \]
\[ P(6) = 28 \times \left(\frac{1}{6}\right)^6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^2 \approx 0.002 \]
Итоговая вероятность:
Сложим все вероятности:
\[ P(4 \leq X \leq 6) = P(4) + P(5) + P(6) \approx 0.046 + 0.010 + 0.002 = 0.058 \]
Ответ: \( 0.058 \).
Ответ округлён до сотых: \( 0.06 \).
