При какой скорости движения кинетическая энергия электрона будет в 5 раз больше его энергии покоя?

Чтобы разобраться в этой задаче, начнём с определения понятий и формул, которые нам понадобятся.

1. Энергия покоя электрона (E₀) определяется как: \[ E₀ = m c^2 \] где \(m\) — масса электрона (примерно \(9.11 \times 10^{-31}\) кг), \(c\) — скорость света в вакууме (примерно \(3 \times 10^8\) м/с).

2. Кинетическая энергия (E_k) электрона в релятивистском случае, когда его скорость \(v\) становится значимой по сравнению со скоростью света, определяется по формуле: \[ E_k = \gamma m c^2 - m c^2 \] где \(\gamma\) (гамма) — релятивистский фактор: \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

3. В данной задаче нам нужно найти такую скорость \(v\), при которой кинетическая энергия электрона в 5 раз больше его энергии покоя, то есть: \[ E_k = 5 E₀ \]

Подстановка и преобразование:

Мы знаем, что: \[ E_k = \gamma m c^2 - m c^2 = 4 m c^2 \]

Следовательно, у нас есть: \[ \gamma m c^2 - m c^2 = 4 m c^2 \] Сократив всё на \(m c^2\), получаем: \[ \gamma - 1 = 4 \] \[ \gamma = 5 \]

Теперь подставим значение для \(\gamma\): \[ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 5 \]

Решение уравнения:

Перепишем уравнение и возведём в квадрат: \[ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{5} \] Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{5}\right)^2 \] \[ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{25} \] Переносим \(\frac{1}{25}\) влево: \[ 1 - \frac{1}{25} = \frac{v^2}{c^2} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{v^2}{c^2} \] \[ \frac{24}{25} = \frac{v^2}{c^2} \]

Нахождение скорости:

Теперь выразим \(v\): \[ v^2 = \frac{24}{25} c^2 \] \[ v = c \sqrt{\frac{24}{25}} = c \frac{\sqrt{24}}{5} \]

Вычисляем: \[ c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с} \] \[ v \approx 3 \times 10^8 \times \frac{\sqrt{24}}{5} \approx 3 \times 10^8 \times 0.9798 \approx 2.939 \times 10^8 \text{ м/с} \]

Ответ:

Таким образом, скорость движения электрона, при которой кинетическая энергия будет в 5 раз больше его энергии покоя, равна примерно \(2.939 \times 10^8\) м/с.