При полном погружении в воду тело становится в четыре раза легче, чем в воздухе. Найдите плотность тела.
Для решения задачи о том, как найти плотность тела, которое становится легче в воде, используя закон Архимеда, давайте разберемся по шагам.
Шаг 1: Анализ условий задачи
Когда тело погружается в воду, оно теряет в весе, и эта потеря связана с подъемной силой, действующей на тело со стороны воды. По условию задачи, тело становится в четыре раза легче в воде, чем в воздухе. Это означает, что вес тела в воде равен одной четвертой его веса в воздухе.
Шаг 2: Обозначения
Обозначим:
- \( W_{в} \) — вес тела в воздухе.
- \( W_{вода} \) — вес тела в воде.
Согласно условию задачи, имеем:
\[ W_{вода} = \frac{1}{4} W_{в} \]
Шаг 3: Формулы для весов
Запишем выражения для весов:
Вес в воздухе: \[ W_{в} = mg \] где \( m \) — масса тела, а \( g \) — ускорение свободного падения (примерно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \) на поверхности Земли).
Вес в воде: Согласно принципу Архимеда, на тело, погруженное в жидкость, действует подъемная сила, равная весу вытесненной жидкости. Таким образом, можно выразить вес тела в воде как:
\[ W_{вода} = mg - \rho_{вода} V g \]
где:
- \( \rho_{вода} \) — плотность воды (приблизительно \( 1000 \, \text{кг/м}^3 \)),
- \( V \) — объем тела.
Шаг 4: Подстановка и упрощение
Теперь подставим выражения для весов в соотношение:
\[ mg - \rho_{вода} V g = \frac{1}{4} mg \]
Упростим это уравнение:
- Переносим все члены с \( mg \) в одну сторону:
\[ mg - \frac{1}{4}mg = \rho_{вода} V g \]
- Упрощаем:
\[ \frac{3}{4}mg = \rho_{вода} V g \]
- Убираем \( g \) (если \( g \neq 0 \)):
\[ \frac{3}{4}m = \rho_{вода} V \]
Шаг 5: Найдем плотность тела
Теперь выразим плотность тела \( \rho_{тело} \):
Плотность определяется как масса делить на объем:
\[ \rho_{тело} = \frac{m}{V} \]
Из последнего равноутверждения выразим массу:
\[ m = \frac{4}{3} \rho_{вода} V \]
Теперь подставим это выражение для массы в формулу плотности тела:
\[ \rho_{тело} = \frac{\frac{4}{3} \rho_{вода} V}{V} = \frac{4}{3} \rho_{вода} \]
Шаг 6: Подставим значение плотности воды
Мы уже знаем, что \( \rho_{вода} \approx 1000 \, \text{кг/м}^3 \):
\[ \rho_{тело} = \frac{4}{3} \times 1000 \, \text{кг/м}^3 = \frac{4000}{3} \, \text{кг/м}^3 \approx 1333.33 \, \text{кг/м}^3 \]
Ответ
Плотность тела составляет approximately \( 1333.33 \, \text{кг/м}^3 \).
