Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «сумма выпавших очков больше 5 5 ». Составь таблицу случайного эксперимента…
Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «сумма выпавших очков больше 5 5». Составь таблицу случайного эксперимента и найди P ( A ∩ B ) P(A∩B).
Чтобы решить эту задачу, начнем с составления таблицы случайного эксперимента, а затем найдем вероятность события \( P(A \cap B) \).
Шаг 1: Определение событий
- Событие \( A \): «при втором броске выпало меньше очков».
- Событие \( B \): «сумма выпавших очков больше 5».
Шаг 2: Составление таблицы
При броске игрального кубика возможные значения для каждого броска — это числа от 1 до 6. Следовательно, мы можем составить таблицу, где строки будут представлять результаты первого броска, а столбцы — результаты второго броска.
| Первый бросок \ Второй бросок | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Шаг 3: Определение случаев для событий A и B
Теперь определим, при каких условиях выполняются события \( A \) и \( B \).
Событие A (второй бросок меньше первого):
- Если первый бросок 2: возможные пары (2,1)
- Если первый бросок 3: возможные пары (3,1), (3,2)
- Если первый бросок 4: возможные пары (4,1), (4,2), (4,3)
- Если первый бросок 5: возможные пары (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)
- Если первый бросок 6: возможные пары (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)
Таким образом, выполним событие \( A \) при следующих парах:
- (2, 1)
- (3, 1), (3, 2)
- (4, 1), (4, 2), (4, 3)
- (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)
- (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
Всего случаев для события \( A \): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Событие B (сумма больше 5): Необходимо подсчитать пары, где сумма больше 5:
- (1,5), (1,6)
- (2,4), (2,5), (2,6)
- (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
- (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
- (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)
- (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
Всего случаев для события \( B \): 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 = 26.
Шаг 4: Нахождение пересечения событий A и B
Теперь нам нужно найти \( A \cap B \): пары, которые удовлетворяют обоим условиям. Итак, выполнимая пара для \( A \) из вышеупомянутого списка, которая также соответствует \( B \):
- (3, 3) (не подходит)
- (3, 4), (3, 5), (3, 6) не подходит
- (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) - только (4, 2) подходит.
- (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) - только (5, 1) подходит.
- (5, 5), (5,6) - не подходят
- (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) - все подходят
Итак, нам подходят пары:
- (4, 2) (сумма = 6)
- (5, 1) (сумма = 6)
- Все пары с первым кубиком 6.
Всего пар для \( A \cap B \): 1 (4,2) + 1 (5,1) + 5 (для 6) = 7.
Шаг 5: Расчет вероятности
Общее число исходов при двух бросках: \( 6 \times 6 = 36 \).
Теперь можно найти вероятность пересечения двух событий: \[ P(A \cap B) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{7}{36}. \]
Ответ: \( P(A \cap B) = \frac{7}{36} \).
