маша решила разбить свою копилку и потратить все деньги на шоколад.В копилке нашлось 15 монет достоинством 2,5,10 рублей , ей хватило на шоколадку стоимостью 105 рублей. Какое…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определение условий задачи

У Маши есть 15 монет достоинством 2, 5 и 10 рублей, и она может потратить все деньги на шоколадку стоимостью 105 рублей. Нам нужно определить, какое наименьшее количество 5-рублёвых монет могло быть в её копилке.

Шаг 2: Обозначим количество каждой монеты

Обозначим:

• \( a \) — количество монет по 2 рубля,
• \( b \) — количество монет по 5 рублей,
• \( c \) — количество монет по 10 рублей.

У нас есть два уравнения:

1. Суммарное количество монет: \[ a + b + c = 15 \]
2. Суммарная стоимость монет: \[ 2a + 5b + 10c = 105 \]

Шаг 3: Упрощение уравнения

Мы можем упростить второе уравнение, разделив его на 5: \[ \frac{2a}{5} + b + 2c = 21 \] Приведём первое уравнение к более удобной форме: \[ a + b + c = 15 \quad \text{(1)} \]

Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ a = 15 - b - c \quad \text{(2)} \]

Шаг 4: Подставим уравнение (2) во второе

Теперь подставим (2) в упрощённое второе уравнение: \[ 2\left(15 - b - c\right)/5 + b + 2c = 21 \] Упростим это уравнение: \[ \frac{30 - 2b - 2c}{5} + b + 2c = 21 \]

Умножим обе стороны на 5 для избавления от дробей: \[ 30 - 2b - 2c + 5b + 10c = 105 \] Соберем все элементы влево: \[ 30 + 3b + 8c = 105 \] Теперь упростим: \[ 3b + 8c = 75 \quad \text{(3)} \]

Шаг 5: Система уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a + b + c = 15 \)
2. \( 3b + 8c = 75 \)

Шаг 6: Поиск целых решений

Теперь найдем целые решения. Из уравнения (3) выразим \( b \): \[ b = \frac{75 - 8c}{3} \]

Для \( b \) быть целым, \( 75 - 8c \) должно делиться на 3. Посмотрим, как меняется значение \( 75 - 8c \) в зависимости от \( c \):

• Когда \( c = 0 \): \( 75 - 0 = 75\) (делится на 3)
• Когда \( c = 1 \): \( 75 - 8 = 67\) (не делится на 3)
• Когда \( c = 2 \): \( 75 - 16 = 59\) (не делится на 3)
• Когда \( c = 3 \): \( 75 - 24 = 51\) (делится на 3)
• Когда \( c = 4 \): \( 75 - 32 = 43\) (не делится на 3)
• Когда \( c = 5 \): \( 75 - 40 = 35\) (не делится на 3)
• Когда \( c = 6 \): \( 75 - 48 = 27\) (делится на 3)
• Когда \( c = 7 \): \( 75 - 56 = 19\) (не делится на 3)
• Когда \( c = 8 \): \( 75 - 64 = 11\) (не делится на 3)
• Когда \( c = 9 \): \( 75 - 72 = 3\) (делится на 3)

Шаг 7: Варианты

Теперь подставим найденные \( c \) значения в уравнение \( b = \frac{75-8c}{3} \):

1. Если \( c = 0 \): \( b = 25\) (не подходит)
2. Если \( c = 3 \): \( b = 15\) (не подходит)
3. Если \( c = 6 \): \( b = 3\) \( \Rightarrow a = 15 - 3 - 6 = 6\)
4. Если \( c = 9 \): \( b = 3\) \( \Rightarrow a = 15 - 9 - 3 = 3\) (лучше)

Среди ряда решений минимальное количество \( b \) равно 0, и максимальное равно 3.

Ответ

Таким образом, наименьшее количество 5-рублёвых монет, которое могло быть в копилке, составляет 0 монет (если у нас есть только 2 и 10-рублёвые монеты, суммы которых могут дать 105 рублей), что можно проверить, подставляя различные значения.