Маша решила разбить свою копилку и потратить все деньги на шоколад.В копилке нашлось 15 монет достоинством 2,5,10 рублей , ей хватило на шоколадку стоимостью 105 рублей. Какое наименьшее количество 5 рублёвых монет могло быть в копилке.

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Шаг 1: Определение условий задачи У Маши есть 15 монет достоинством 2, 5 и 10 рублей, и она может потратить все деньги на шоколадку стоимостью 105 рублей. Нам нужно определить, какое наименьшее количество 5-рублёвых монет могло быть в её копилке. ### Шаг 2: Обозначим количество каждой монеты Обозначим: - \( a \) — количество монет по 2 рубля, - \( b \) — количество монет по 5 рублей, - \( c \) — количество монет по 10 рублей. У нас есть два уравнения: 1. Суммарное количество монет: \[ a + b + c = 15 \] 2. Суммарная стоимость монет: \[ 2a + 5b + 10c = 105 \] ### Шаг 3: Упрощение уравнения Мы можем упростить второе уравнение, разделив его на 5: \[ \frac{2a}{5} + b + 2c = 21 \] Приведём первое уравнение к более удобной форме: \[ a + b + c = 15 \quad \text{(1)} \] Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ a = 15 - b - c \quad \text{(2)} \] ### Шаг 4: Подставим уравнение (2) во второе Теперь подставим (2) в упрощённое второе уравнение: \[ 2\left(15 - b - c\right)/5 + b + 2c = 21 \] Упростим это уравнение: \[ \frac{30 - 2b - 2c}{5} + b + 2c = 21 \] Умножим обе стороны на 5 для избавления от дробей: \[ 30 - 2b - 2c + 5b + 10c = 105 \] Соберем все элементы влево: \[ 30 + 3b + 8c = 105 \] Теперь упростим: \[ 3b + 8c = 75 \quad \text{(3)} \] ### Шаг 5: Система уравнений Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. \( a + b + c = 15 \) 2. \( 3b + 8c = 75 \) ### Шаг 6: Поиск целых решений Теперь найдем целые решения. Из уравнения (3) выразим \( b \): \[ b = \frac{75 - 8c}{3} \] Для \( b \) быть целым, \( 75 - 8c \) должно делиться на 3. Посмотрим, как меняется значение \( 75 - 8c \) в зависимости от \( c \): - Когда \( c = 0 \): \( 75 - 0 = 75\) (делится на 3) - Когда \( c = 1 \): \( 75 - 8 = 67\) (не делится на 3) - Когда \( c = 2 \): \( 75 - 16 = 59\) (не делится на 3) - Когда \( c = 3 \): \( 75 - 24 = 51\) (делится на 3) - Когда \( c = 4 \): \( 75 - 32 = 43\) (не делится на 3) - Когда \( c = 5 \): \( 75 - 40 = 35\) (не делится на 3) - Когда \( c = 6 \): \( 75 - 48 = 27\) (делится на 3) - Когда \( c = 7 \): \( 75 - 56 = 19\) (не делится на 3) - Когда \( c = 8 \): \( 75 - 64 = 11\) (не делится на 3) - Когда \( c = 9 \): \( 75 - 72 = 3\) (делится на 3) ### Шаг 7: Варианты Теперь подставим найденные \( c \) значения в уравнение \( b = \frac{75-8c}{3} \): 1. Если \( c = 0 \): \( b = 25\) (не подходит) 2. Если \( c = 3 \): \( b = 15\) (не подходит) 3. Если \( c = 6 \): \( b = 3\) \( \Rightarrow a = 15 - 3 - 6 = 6\) 4. Если \( c = 9 \): \( b = 3\) \( \Rightarrow a = 15 - 9 - 3 = 3\) (лучше) Среди ряда решений минимальное количество \( b \) равно 0, и максимальное равно 3. ### Ответ Таким образом, наименьшее количество 5-рублёвых монет, которое могло быть в копилке, составляет **0 монет** (если у нас есть только 2 и 10-рублёвые монеты, суммы которых могут дать 105 рублей), что можно проверить, подставляя различные значения.