Y=2+x^2/x экстремумы монотонность перегибы формула (u/U)= u×U-u×U/U^2

Давайте разберем задачу по частям. Нам необходимо найти экстремумы, монотонности и перегибы функции, заданной формулой \[ y = \frac{2 + x^2}{x} \] ### Шаг 1: Упростим функцию Прежде всего, упростим данное уравнение: \[ y = \frac{2}{x} + x \] Это упростит дальнейшие вычисления. ### Шаг 2: Найдем производную \(y'\) Чтобы найти экстремумы и монотонность функции, необходимо вычислить первую производную. Используем правила дифференцирования: 1. Производная функции \(\frac{2}{x}\) равна \(-\frac{2}{x^2}\). 2. Производная \(x\) равна \(1\). Таким образом, первая производная функции будет: \[ y' = -\frac{2}{x^2} + 1 \] ### Шаг 3: Найдем критические точки Критические точки находятся, когда \(y' = 0\): \[ -\frac{2}{x^2} + 1 = 0 \] \[ 1 = \frac{2}{x^2} \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \] Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\). ### Шаг 4: Определим интервалы монотонности Теперь определим, на каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого изучим знак производной \(y'\): 1. Для \(x < -\sqrt{2}\): - Выберем, например, \(x = -2\): \[y'(-2) = -\frac{2}{(-2)^2} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = -\frac{1}{2} < 0\] (функция убывает) 2. Для \(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\): - Выберем, например, \(x = 0\): \[y'(0) = -\frac{2}{0^2} + 1 \text{ (недопустимо, } x=0 \text{ нельзя подставлять)}\] Но можно взять значение, например, \(x = -1\): \[y'(-1) = -\frac{2}{(-1)^2} + 1 = -2 + 1 = -1 < 0\] (функция убывает) 3. Для \(x > \sqrt{2}\): - Выберем \(x = 2\): \[y'(2) = -\frac{2}{2^2} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = -\frac{1}{2} < 0\] (функция убывает) Итак, на интервалах: - Функция убывает на \( (-\infty, -\sqrt{2}) \) - Функция убывает на \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) - Функция убывает на \( (\sqrt{2}, \infty) \) ### Шаг 5: Найдем вторую производную \(y''\) Функция не имеет экстремумов, но мы можем найти перегибы. Рассчитаем вторую производную из \(y'\): \[ y'' = \frac{d}{dx}(-\frac{2}{x^2}) = \frac{4}{x^3} \] ### Шаг 6: Найдем точки перегиба Точка перегиба находится, когда \(y'' = 0\): \[ \frac{4}{x^3} = 0 \text{ (недопустимо)} \] Это значит, что точки перегиба нет, так как вторая производная не равна нулю для всех \(x \neq 0\). ### Итог 1. Функция \(y = \frac{2 + x^2}{x}\) убывает на всех интервалах. 2. Экстремумы у функции отсутствуют. 3. Перегибов также нет, так как вторая производная не имеет решений. Если у вас есть дополнительные вопросы или нуждаетесь в прояснении каких-то аспектов, пожалуйста, дайте знать!