y=2+x^2/x экстремумы монотонность перегибы формула (u/U)= u×U-u×U/U^2

Давайте разберем задачу по частям. Нам необходимо найти экстремумы, монотонности и перегибы функции, заданной формулой

\[ y = \frac{2 + x^2}{x} \]

Шаг 1: Упростим функцию

Прежде всего, упростим данное уравнение:

\[ y = \frac{2}{x} + x \]

Это упростит дальнейшие вычисления.

Шаг 2: Найдем производную \(y'\)

Чтобы найти экстремумы и монотонность функции, необходимо вычислить первую производную.

Используем правила дифференцирования:

1. Производная функции \(\frac{2}{x}\) равна \(-\frac{2}{x^2}\).
2. Производная \(x\) равна \(1\).

Таким образом, первая производная функции будет:

\[ y' = -\frac{2}{x^2} + 1 \]

Шаг 3: Найдем критические точки

Критические точки находятся, когда \(y' = 0\):

\[ -\frac{2}{x^2} + 1 = 0 \] \[ 1 = \frac{2}{x^2} \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).

Шаг 4: Определим интервалы монотонности

Теперь определим, на каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого изучим знак производной \(y'\):

1. Для \(x < -\sqrt{2}\):

   • Выберем, например, \(x = -2\): \[y'(-2) = -\frac{2}{(-2)^2} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = -\frac{1}{2} < 0\] (функция убывает)

2. Для \(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\):

   • Выберем, например, \(x = 0\): \[y'(0) = -\frac{2}{0^2} + 1 \text{ (недопустимо, } x=0 \text{ нельзя подставлять)}\] Но можно взять значение, например, \(x = -1\): \[y'(-1) = -\frac{2}{(-1)^2} + 1 = -2 + 1 = -1 < 0\] (функция убывает)

3. Для \(x > \sqrt{2}\):

   • Выберем \(x = 2\): \[y'(2) = -\frac{2}{2^2} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = -\frac{1}{2} < 0\] (функция убывает)

Итак, на интервалах:

• Функция убывает на \( (-\infty, -\sqrt{2}) \)
• Функция убывает на \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)
• Функция убывает на \( (\sqrt{2}, \infty) \)

Шаг 5: Найдем вторую производную \(y''\)

Функция не имеет экстремумов, но мы можем найти перегибы. Рассчитаем вторую производную из \(y'\):

\[ y'' = \frac{d}{dx}(-\frac{2}{x^2}) = \frac{4}{x^3} \]

Шаг 6: Найдем точки перегиба

Точка перегиба находится, когда \(y'' = 0\):

\[ \frac{4}{x^3} = 0 \text{ (недопустимо)} \]

Это значит, что точки перегиба нет, так как вторая производная не равна нулю для всех \(x \neq 0\).

Итог

1. Функция \(y = \frac{2 + x^2}{x}\) убывает на всех интервалах.
2. Экстремумы у функции отсутствуют.
3. Перегибов также нет, так как вторая производная не имеет решений.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нуждаетесь в прояснении каких-то аспектов, пожалуйста, дайте знать!