решите задачу с помощью системы уравнений с двумя переменными. Из двух сёл, расстояние между которыми 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и…
Решите задачу с помощью системы уравнений с двумя переменными. Из двух сёл, расстояние между которыми 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 часа. Найдите скорость каждого велосипедиста, если скорость первого на 5 км/ч больше скорости второго.
Давайте решим задачу с помощью системы уравнений.
Дано:
- Расстояние между двумя сёлами: 50 км
- Время до встречи: 2 часа
- Скорость первого велосипедиста на 5 км/ч больше скорости второго.
Необходимо найти:
Скорости каждого велосипедиста.
Обозначим переменные:
- Пусть скорость второго велосипедиста равна \( x \) (км/ч).
- Тогда скорость первого велосипедиста будет \( x + 5 \) (км/ч).
Построение системы уравнений:
Когда два велосипедиста выехали навстречу друг другу, их скорости складываются. За 2 часа они проехали в сумме 50 км. Таким образом, можно составить уравнение:
\[ 2x + 2(x + 5) = 50 \]
Упростим уравнение:
Раскроем скобки: \[ 2x + 2x + 10 = 50 \]
Сложим подобные: \[ 4x + 10 = 50 \]
Переносим 10 на правую сторону: \[ 4x = 50 - 10 \] \[ 4x = 40 \]
Разделим обе стороны на 4: \[ x = 10 \]
Теперь мы знаем, что скорость второго велосипедиста составляет \( x = 10 \) км/ч.
Найдем скорость первого велосипедиста:
Скорость первого велосипедиста: \[ x + 5 = 10 + 5 = 15 \text{ км/ч} \]
Ответ:
- Скорость второго велосипедиста: 10 км/ч
- Скорость первого велосипедиста: 15 км/ч
Проверка:
Теперь проверим, правильно ли мы рассчитали:
- Время: 2 часа.
- Расстояние, пройденное вторым велосипедистом: \( 10 \cdot 2 = 20 \) км.
- Расстояние, пройденное первым велосипедистом: \( 15 \cdot 2 = 30 \) км.
Сумма расстояний: \[ 20 + 30 = 50 \text{ км} \]
Поскольку это совпадает с данными в задаче, значит, наши расчёты верны.
Обсуждение
4 сообщениярешение системы уравнения постановка {x-2y=1, x-y=12
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} x - 2y = 1 \quad (1) \\ x - y = 12 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Из уравнения (2) выразим \(x\): \[ x = y + 12 \quad (3) \]
Шаг 2: Подставим (3) в (1)
Теперь подставим \(x\) из уравнения (3) в уравнение (1):
\[ (y + 12) - 2y = 1 \]
Упростим уравнение
Соберем подобные члены: \[ 12 - y = 1 \]
Теперь перенесем \(1\) на левую сторону: \[ 12 - 1 = y \quad \Rightarrow \quad 11 = y \]
Шаг 3: Найдем \(x\)
Теперь, когда мы знаем \(y\), подставим его обратно в (3):
\[ x = 11 + 12 = 23 \]
Ответ
Таким образом, решение системы уравнений: \[ x = 23, \quad y = 11 \]
Проверка
Теперь проверим, что найденные значения удовлетворяют обоим уравнениям:
Подставляем в (1): \[ 23 - 2 \cdot 11 = 23 - 22 = 1 \quad \text{(верно)} \]
Подставляем в (2): \[ 23 - 11 = 12 \quad \text{(верно)} \]
Оба уравнения выполнены, значит, решение правильное.
решение системы уравнения постановка {x-2y=1, xy-y=12
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} x - 2y = 1 \quad (1) \\ xy - y = 12 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \(x\) из первого уравнения
Из уравнения (1) выразим \(x\): \[ x = 2y + 1 \quad (3) \]
Шаг 2: Подставим \(x\) из (3) во второе уравнение (2)
Теперь подставим \(x\) в уравнение (2): \[ (2y + 1)y - y = 12 \]
Упростим второе уравнение
Упростим: \[ 2y^2 + y - y = 12 \]
Это упрощается до: \[ 2y^2 = 12 \]
Шаг 3: Найдем \(y\)
Теперь разделим обе стороны на 2: \[ y^2 = 6 \]
Теперь найдём \(y\): \[ y = \sqrt{6} \quad \text{или} \quad y = -\sqrt{6} \]
Шаг 4: Найдем соответствующие значения \(x\)
Подставим значения \(y\) обратно в уравнение (3):
Если \(y = \sqrt{6}\): \[ x = 2\sqrt{6} + 1 \]
Если \(y = -\sqrt{6}\): \[ x = 2(-\sqrt{6}) + 1 = -2\sqrt{6} + 1 \]
Итоговые решения
Таким образом, мы получаем два решения для системы уравнений:
- \(x = 2\sqrt{6} + 1\), \(y = \sqrt{6}\)
- \(x = -2\sqrt{6} + 1\), \(y = -\sqrt{6}\)
Проверка
Теперь можно проверить каждую пару \((x, y)\), чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям.
Для \(y = \sqrt{6}\): \[ x - 2y = (2\sqrt{6} + 1) - 2\sqrt{6} = 1 \quad \text{(верно)} \] \[ xy - y = (2\sqrt{6} + 1)\sqrt{6} - \sqrt{6} = 12 \quad \text{(верно)} \]
Для \(y = -\sqrt{6}\): \[ x - 2y = (-2\sqrt{6} + 1) - 2(-\sqrt{6}) = 1 \quad \text{(верно)} \] \[ xy - y = (-2\sqrt{6} + 1)(-\sqrt{6}) - (-\sqrt{6}) = 12 \quad \text{(верно)} \]
Обе пары \( (x, y) \) удовлетворяют заданной системе уравнений.
