1) О, (на)счет врачеванья мы с Христианом Ивановичем взяли свои меры. 2) А вот вам, Лука Лукич, нужно позаботиться особенно (на) счет учителей. (Н.Гоголь) 3) (Не) смотря на частые невзгоды, Андерсену выпало на долю подлинное счастье быть обласканным своим народом. 4) Из(за) дальнего лесистого поворота реки показался знакомый катер. 5) Кузня его стояла на выезде под черными-пречерными вербами (по) над самой рекой. 6) Глаза ее смеются (из) под вуали. 7) (В)месте с мальвами заглядывал в комнату цветок настурции. 8) Отец и дядя Илько выходили (на)встречу старикам. 9) Под водой, (на) встречу течению, медленно шли узкие рыбы. (Из рассказов К.Паустовского) 10) В течени десяти матчей подряд вратарь не пропустил ни одного гола. 11) Катя смотрела не отрываясь (в) след уходящему поезду. 12) И в заключени программы - прогноз погоды.

Давайте разберем каждое предложение и определим правильное написание предлогов и союзов, а также объясним каждое решение. 1. **"О, (на)счет врачеванья мы с Христианом Ивановичем взяли свои меры."** Правильный вариант: **"о, насчет врачеванья"** **Объяснение:** Предлог "насчет" пишется слитно, так как он является единым словом. 2. **"А вот вам, Лука Лукич, нужно позаботиться особенно (на) счет учителей."** Правильный вариант: **"насчет учителей"** **Объяснение:** Слово "насчет" также пишется слитно, так как оно указывает на предмет обсуждения. 3. **"(Не) смотря на частые невзгоды, Андерсену выпало на долю подлинное счастье быть обласканным своим народом."** Правильный вариант: **"Несмотря на частые невзгоды"** **Объяснение:** "Несмотря" пишется слитно, так как это сложный предлог, указывающий на противоречие. 4. **"Из(за) дальнего лесистого поворота реки показался знакомый катер."** Правильный вариант: **"Из-за дальнего лесистого поворота"** **Объяснение:** "Из-за" записывается слитно, указывая на причину или основание. 5. **"Кузня его стояла на выезде под черными-пречерными вербами (по) над самой рекой."** Правильный вариант: **"по над самой рекой"** **Объяснение:** Сочетание "по над" в данном контексте не является корректным. Нужно использовать просто "над". 6. **"Глаза ее смеются (из) под вуали."** Правильный вариант: **"из-под вуали"** **Объяснение:** "Из-под" записывается слитно, так как это предлог, указывающий на положение "под". 7. **"(В)месте с мальвами заглядывал в комнату цветок настурции."** Правильный вариант: **"Вместе с мальвами"** **Объяснение:** "Вместе" пишется слитно, так как это сложный предлог. 8. **"Отец и дядя Илько выходили (на)встречу старикам."** Правильный вариант: **"навстречу старикам"** **Объяснение:** "Навстречу" пишется слитно, так как это также сложный предлог. 9. **"Под водой, (на) встречу течению, медленно шли узкие рыбы."** Правильный вариант: **"навстречу течению"** **Объяснение:** Как и в предыдущем случае, "навстречу" пишется слитно. 10. **"В течени десяти матчей подряд вратарь не пропустил ни одного гола."** Правильный вариант: **"В течение десяти матчей"** **Объяснение:** "В течение" — это устойчивое выражение, где предлог "в" и существительное "течение" пишутся раздельно. 11. **"Катя смотрела не отрываясь (в) след уходящему поезду."** Правильный вариант: **"в след уходящему поезду"** **Объяснение:** "В след" здесь будет корректным написанием, так как "в след" – это предлог с существительным. 12. **"И в заключени программы - прогноз погоды."** Правильный вариант: **"в заключении программы"** **Объяснение:** "В заключении" пишется с двойной "н", так как это существительное в предложном падеже. Таким образом, мы исправили все слова и предложили правильные варианты их написания с объяснениями. Надеюсь, это поможет вам лучше понять правила написания предлогов и союзов в русском языке!