Давайте разберем каждое предложение и определим правильное написание предлогов и союзов, а также объясним каждое решение.
"О, (на)счет врачеванья мы с Христианом Ивановичем взяли свои меры."
Правильный вариант: "о, насчет врачеванья"
Объяснение: Предлог "насчет" пишется слитно, так как он является единым словом."А вот вам, Лука Лукич, нужно позаботиться особенно (на) счет учителей."
Правильный вариант: "насчет учителей"
Объяснение: Слово "насчет" также пишется слитно, так как оно указывает на предмет обсуждения."(Не) смотря на частые невзгоды, Андерсену выпало на долю подлинное счастье быть обласканным своим народом."
Правильный вариант: "Несмотря на частые невзгоды"
Объяснение: "Несмотря" пишется слитно, так как это сложный предлог, указывающий на противоречие."Из(за) дальнего лесистого поворота реки показался знакомый катер."
Правильный вариант: "Из-за дальнего лесистого поворота"
Объяснение: "Из-за" записывается слитно, указывая на причину или основание."Кузня его стояла на выезде под черными-пречерными вербами (по) над самой рекой."
Правильный вариант: "по над самой рекой"
Объяснение: Сочетание "по над" в данном контексте не является корректным. Нужно использовать просто "над"."Глаза ее смеются (из) под вуали."
Правильный вариант: "из-под вуали"
Объяснение: "Из-под" записывается слитно, так как это предлог, указывающий на положение "под"."(В)месте с мальвами заглядывал в комнату цветок настурции."
Правильный вариант: "Вместе с мальвами"
Объяснение: "Вместе" пишется слитно, так как это сложный предлог."Отец и дядя Илько выходили (на)встречу старикам."
Правильный вариант: "навстречу старикам"
Объяснение: "Навстречу" пишется слитно, так как это также сложный предлог."Под водой, (на) встречу течению, медленно шли узкие рыбы."
Правильный вариант: "навстречу течению"
Объяснение: Как и в предыдущем случае, "навстречу" пишется слитно."В течени десяти матчей подряд вратарь не пропустил ни одного гола."
Правильный вариант: "В течение десяти матчей"
Объяснение: "В течение" — это устойчивое выражение, где предлог "в" и существительное "течение" пишутся раздельно."Катя смотрела не отрываясь (в) след уходящему поезду."
Правильный вариант: "в след уходящему поезду"
Объяснение: "В след" здесь будет корректным написанием, так как "в след" – это предлог с существительным."И в заключени программы - прогноз погоды."
Правильный вариант: "в заключении программы"
Объяснение: "В заключении" пишется с двойной "н", так как это существительное в предложном падеже.
Таким образом, мы исправили все слова и предложили правильные варианты их написания с объяснениями. Надеюсь, это поможет вам лучше понять правила написания предлогов и союзов в русском языке!