Реши задачу

Для решения уравнения \[ \frac{6x}{3x^2 - 2x} + \frac{5}{3x^2 - 5} = 2 \] следуем следующему плану: 1. **Приведем к общему знаменателю**: Общий знаменатель для дробей \(\frac{6x}{3x^2 - 2x}\) и \(\frac{5}{3x^2 - 5}\) будет произведением знаменателей \((3x^2 - 2x)(3x^2 - 5)\). 2. **Запишем уравнение с общим знаменателем**: \[ \frac{6x(3x^2 - 5) + 5(3x^2 - 2x)}{(3x^2 - 2x)(3x^2 - 5)} = 2 \] 3. **Единый числитель**: Упростим числитель: \[ 6x(3x^2 - 5) = 18x^3 - 30x \] \[ 5(3x^2 - 2x) = 15x^2 - 10x \] Складываем полученные выражения: \[ 18x^3 - 30x + 15x^2 - 10x = 18x^3 + 15x^2 - 40x \] 4. **Уравнение**: Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{18x^3 + 15x^2 - 40x}{(3x^2 - 2x)(3x^2 - 5)} = 2 \] 5. **Умножение на общий знаменатель**: \[ 18x^3 + 15x^2 - 40x = 2(3x^2 - 2x)(3x^2 - 5) \] 6. **Раскрытие скобок**: Вычислим правую часть: \[ 2((3x^2 - 2x)(3x^2 - 5)) = 2(9x^4 - 15x^2 - 6x^3 + 10x) = 18x^4 - 12x^3 - 30x^2 + 20x \] 7. **Приведение всех выражений**: Теперь у нас: \[ 18x^3 + 15x^2 - 40x = 18x^4 - 12x^3 - 30x^2 + 20x \] 8. **Приведение к нулю одной из частей**: Уравнение приобретает вид: \[ 0 = 18x^4 - 30x^2 - 12x^3 + 18x^3 + 15x^2 + 20x - 40x \] \[ 0 = 18x^4 + 6x^3 - 15x^2 - 20x \] 9. **Решение уравнения**: Вынесем общий множитель: \[ 0 = 3x(6x^3 + 2x^2 - 5x - 20) \] Таким образом, один из корней — это \(x = 0\). 10. **Поиск оставшихся корней**: Решив кубическое уравнение \(6x^3 + 2x^2 - 5x - 20 = 0\) либо с помощью схемы Горнера, либо подбора, чтобы узнать оставшиеся корни. Решение уравнения требует проверки найденных корней на случай, если они исключают сам знаменатель, что является важным шагом для проверки решений. Таким образом, мы нашли один из корней, а происхождение оставшихся зависит от кубического уравнения, которое можно решить численно или методом подбора.