Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², y= √x

Давайте разберем задачу по шагам и найдём площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 \) и \( y = \sqrt{x} \). ### Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых Чтобы найти точки пересечения кривых, приравняем их друг к другу: \[ x^2 = \sqrt{x} \] Теперь перенесем все в одну сторону, чтобы упростить уравнение: \[ x^2 - \sqrt{x} = 0 \] Выразим \(\sqrt{x}\): \[ \sqrt{x}( \sqrt{x} - 1) = 0 \] Это уравнение верно, если хотя бы одно из множителей равно нулю. Получаем два возможных случая: 1. \( \sqrt{x} = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\) 2. \( \sqrt{x} - 1 = 0 \) \(\Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1\) Следовательно, точки пересечения кривых находятся в точках \( x = 0\) и \( x = 1\). ### Шаг 2: Найдем площадь между кривыми Чтобы найти площадь, мы можем воспользоваться определённым интегралом. Площадь \(S\) между двумя кривыми от \(x = 0\) до \(x = 1\) вычисляется по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \] где \(f(x)\) — верхняя функция, а \(g(x)\) — нижняя. Для \(0 \leq x \leq 1\): - \(f(x) = \sqrt{x}\) (это функция выше) - \(g(x) = x^2\) (это функция ниже) Теперь подставим в формулу: \[ S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx \] ### Шаг 3: Найдем интеграл Теперь вычислим интеграл: 1. Найдем интеграл от \(\sqrt{x}\): \[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} \] 2. Найдем интеграл от \(x^2\): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Теперь мы можем записать общий интеграл: \[ S = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] Подставляем пределы: \[ S = \left( \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \] ### Ответ Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = \sqrt{x} \), равна \( \frac{1}{3} \) квадратных единиц.