определитель объем тела вращения вокруг оси Ох, ограниченного линиями y²=9x и y=3x

Для определения объема тела вращения, образующегося при вращении области, ограниченной кривыми \(y^2 = 9x\) и \(y = 3x\) вокруг оси \(Ox\), мы будем использовать метод дисков или цилиндров.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых

Чтобы определить границы интегрирования, сначала найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений:

1. \(y^2 = 9x\)
2. \(y = 3x\)

Подставим второе уравнение в первое:

\[ (3x)^2 = 9x \]

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ 9x^2 - 9x = 0 \] \[ 9x(x - 1) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два значения:

\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1 \]

Теперь подставим эти значения \(x\) в уравнение \(y = 3x\) для нахождения соответствующих \(y\):

• Для \(x = 0\): \(y = 3 \cdot 0 = 0\) → точка (0, 0)
• Для \(x = 1\): \(y = 3 \cdot 1 = 3\) → точка (1, 3)

Итак, точки пересечения кривых — это \((0, 0)\) и \((1, 3)\).

Шаг 2: Запишем радиусы и границы интегрирования

При вращении области вокруг оси \(Ox\), мы будем использовать метод дисков. Радиус диска в зависимости от \(x\) будет равен разности верхней и нижней функций по оси \(y\):

• Верхняя функция: \(y = 3x\)
• Нижняя функция: \(y = \sqrt{9x}\) (или \(y = 3\sqrt{x}\))

Таким образом, радиус в точке \(x\) равен:

\[ R(x) = 3x - 3\sqrt{x} \]

Шаг 3: Вычислим объем

Теперь мы можем выразить объем \(V\) через интеграл:

\[ V = \pi \int_{0}^{1} \left(R(x)\right)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (3x - 3\sqrt{x})^2 \, dx \]

Раскроем скобки:

\[ (3x - 3\sqrt{x})^2 = 9x^2 - 18x\sqrt{x} + 9x \]

Теперь объединим подобные слагаемые:

\[ 9x^2 - 18x\sqrt{x} + 9x = 9x^2 + 9x - 18x^{3/2} \]

Подставим это в интеграл:

\[ V = \pi \int_{0}^{1} (9x^2 + 9x - 18x^{3/2}) \, dx \]

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности:

\[ \int_{0}^{1} 9x^2 \, dx = 9 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3 \]

\[ \int_{0}^{1} 9x \, dx = 9 \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \]

\[ \int_{0}^{1} 18x^{3/2} \, dx = 18 \cdot \left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_{0}^{1} = 18 \cdot \frac{2}{5} = \frac{36}{5} \]

Теперь подставим результаты в выражение для объема:

\[ V = \pi \left( 3 + 4.5 - \frac{36}{5} \right) \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ 3 = \frac{15}{5}, \quad 4.5 = \frac{22.5}{5} \] \[ V = \pi \left( \frac{15}{5} + \frac{22.5}{5} - \frac{36}{5} \right) = \pi \left( \frac{15 + 22.5 - 36}{5} \right) = \pi \left( \frac{1.5}{5} \right) = \frac{1.5\pi}{5} \]

Таким образом, общий объем тела вращения составляет:

\[ V = \frac{3\pi}{10} \]

Ответ

Объем тела вращения вокруг оси \(Ox\), ограниченного линиями \(y^2 = 9x\) и \(y = 3x\), равен \( \frac{3\pi}{10} \).