Даны векторы (6, -2,1) и (4,2, -1). Вычислите косинус угла между векторами. Полученный результат умножить на 6
Чтобы вычислить косинус угла между двумя векторами, воспользуемся формулой:
\[ \cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| |B|} \]
где:
- \( A \cdot B \) — скалярное произведение векторов,
- \( |A| \) и \( |B| \) — длины (модули) векторов.
Для векторов \( A = (6, -2, 1) \) и \( B = (4, 2, -1) \) мы будем выполнять следующие шаги:
Шаг 1: Найдём скалярное произведение \( A \cdot B \)
Скалярное произведение вычисляется по формуле:
\[ A \cdot B = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z \]
Подставляем значения:
\[ A \cdot B = (6 \cdot 4) + (-2 \cdot 2) + (1 \cdot -1) \]
Выполним расчеты:
\[ A \cdot B = 24 - 4 - 1 = 19 \]
Шаг 2: Найдём длины векторов \( |A| \) и \( |B| \)
Длина вектора вычисляется по формуле:
\[ |A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \]
Для вектора \( A \):
\[ |A| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 4 + 1} = \sqrt{41} \]
Для вектора \( B \):
\[ |B| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} \]
Шаг 3: Найдём косинус угла \( \cos(\theta) \)
Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса:
\[ \cos(\theta) = \frac{19}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{21}} \]
Упростим знаменатель:
\[ \sqrt{41} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{861} \]
Таким образом,
\[ \cos(\theta) = \frac{19}{\sqrt{861}} \]
Шаг 4: Умножим результат на 6
Теперь нам необходимо умножить косинус на 6:
\[ 6 \cdot \cos(\theta) = 6 \cdot \frac{19}{\sqrt{861}} = \frac{114}{\sqrt{861}} \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ 6 \cdot \cos(\theta) = \frac{114}{\sqrt{861}} \]
Это значение может быть вычислено дополнительно с помощью калькулятора для получения численной оценки, если это необходимо.
