Чтобы вычислить косинус угла между двумя векторами, воспользуемся формулой:
[
\cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| |B|}
]
где:
- ( A \cdot B ) — скалярное произведение векторов,
- ( |A| ) и ( |B| ) — длины (модули) векторов.
Для векторов ( A = (6, -2, 1) ) и ( B = (4, 2, -1) ) мы будем выполнять следующие шаги:
Шаг 1: Найдём скалярное произведение ( A \cdot B )
Скалярное произведение вычисляется по формуле:
[
A \cdot B = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
]
Подставляем значения:
[
A \cdot B = (6 \cdot 4) + (-2 \cdot 2) + (1 \cdot -1)
]
Выполним расчеты:
[
A \cdot B = 24 - 4 - 1 = 19
]
Шаг 2: Найдём длины векторов ( |A| ) и ( |B| )
Длина вектора вычисляется по формуле:
[
|A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
]
Для вектора ( A ):
[
|A| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 4 + 1} = \sqrt{41}
]
Для вектора ( B ):
[
|B| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}
]
Шаг 3: Найдём косинус угла ( \cos(\theta) )
Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса:
[
\cos(\theta) = \frac{19}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{21}}
]
Упростим знаменатель:
[
\sqrt{41} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{861}
]
Таким образом,
[
\cos(\theta) = \frac{19}{\sqrt{861}}
]
Шаг 4: Умножим результат на 6
Теперь нам необходимо умножить косинус на 6:
[
6 \cdot \cos(\theta) = 6 \cdot \frac{19}{\sqrt{861}} = \frac{114}{\sqrt{861}}
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
6 \cdot \cos(\theta) = \frac{114}{\sqrt{861}}
]
Это значение может быть вычислено дополнительно с помощью калькулятора для получения численной оценки, если это необходимо.
