На воздушном шаре объёмом 400 м³, масса оболочки которого 30 кг, планируют поднять груз массой 86 кг. Во сколько раз при этом плотность горячего воздуха внутри шара должна быть…

Чтобы решить эту задачу, необходимо воспользоваться законом Архимеда, который гласит, что на твердое тело, погруженное в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (газа) подъемная сила, равная весу вытесненной жидкостью (газом) массы. В данном случае мы будем работать с воздухом.

1. Определим данные задачи:

   • Объем шара \( V = 400 \, \text{м}^3 \)
   • Масса оболочки шара \( m_{оболочки} = 30 \, \text{кг} \)
   • Масса груза \( m_{груза} = 86 \, \text{кг} \)

2. Общая масса системы: Общая масса, которую необходимо поднять, равна массе оболочки и массе груза: \[ m_{системы} = m_{оболочки} + m_{груза} = 30 \, \text{кг} + 86 \, \text{кг} = 116 \, \text{кг} \]

3. Определим подъемную силу: Подъемная сила, действующая на воздушный шар, равна весу вытесненного воздуха. Она рассчитывается по формуле: \[ F_{подъем} = V \cdot \rho_{окр} \cdot g \] где:

   • \( V \) — объем шара (400 м³),
   • \( \rho_{окр} \) — плотность окружающего воздуха (примерно 1.225 кг/м³ при нормальных условиях),
   • \( g \) — ускорение свободного падения (приблизительно 9.81 м/с²).

   Подъемная сила будет такова: \[ F_{подъем} = 400 \, \text{м}^3 \cdot 1.225 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \approx 4809.9 \, \text{Н} \]

4. Вес всей системы: Вес всей системы, состоящей из оболочки и груза, может быть вычислен как: \[ F_{веса} = m_{системы} \cdot g = 116 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \approx 1134.96 \, \text{Н} \]

5. Условие подъема: Для того чтобы шар смог подняться, подъемная сила должна быть больше или равна весу системы: \[ F_{подъем} \geq F_{веса} \]

6. Необходимая плотность горячего воздуха: Чтобы поднять груз, масса горячего воздуха внутри шара должна быть такой, чтобы разница между весом вытесненного воздуха и весом системы была положительной: \[ V \cdot \rho_{гор} \cdot g + 116 \cdot g = V \cdot \rho_{окр} \cdot g \] Отсюда: \[ V \cdot \rho_{окр} = V \cdot \rho_{гор} + 116 \] Разделим на \( V \): \[ \rho_{окр} = \rho_{гор} + \frac{116}{400} \] Следовательно: \[ \rho_{гор} = \rho_{окр} - \frac{116}{400} \approx 1.225 - 0.29 = 0.935 \text{ кг/м}^3 \]

7. Вычисление необходимой разницы плотностей: Для нахождения во сколько раз плотность горячего воздуха должна быть меньше плотности окружающего воздуха, делим плотность окружающего воздуха на плотность горячего воздуха: \[ \frac{\rho_{окр}}{\rho_{гор}} = \frac{1.225}{0.935} \approx 1.31 \]

Таким образом, плотность горячего воздуха внутри шара должна быть примерно в 1.31 раз меньше плотности окружающего воздуха для того, чтобы шар смог поднять указанный груз.