Внутри круга с радиусом 10 10 см начертили квадрат. Известно, что диагональ квадрата равна радиусу окружности. Какова вероятность того, что выбранная наугад точка принадлежит…
Внутри круга с радиусом 10 10 см начертили квадрат. Известно, что диагональ квадрата равна радиусу окружности. Какова вероятность того, что выбранная наугад точка принадлежит квадрату? При решении считай, что � = 3 π=3.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание условий задачи
- У нас есть круг радиусом \( R = 10 \) см.
- Диагональ квадрата равна радиусу круга, то есть \( D = 10 \) см.
Шаг 2: Определение стороны квадрата
Сначала найдем сторону квадрата. Известно, что диагональ квадрата \( D \) связана со стороной \( a \) квадрата следующим образом:
\[ D = a \sqrt{2} \]
Подставим известное значение диагонали:
\[ 10 = a \sqrt{2} \]
Теперь решим это уравнение относительно \( a \):
\[ a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см} \]
Шаг 3: Вычисление площади квадрата
Площадь квадрата \( S_{квадрат} \) можно вычислить по формуле:
\[ S_{квадрат} = a^2 \]
Подставим найденное значение стороны квадрата:
\[ S_{квадрат} = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \text{ см}^2 \]
Шаг 4: Вычисление площади круга
Площадь круга \( S_{круга} \) можно вычислить по формуле:
\[ S_{круга} = \pi R^2 \]
Подставим известный радиус и значение π:
\[ S_{круга} = 3 \cdot (10)^2 = 3 \cdot 100 = 300 \text{ см}^2 \]
Шаг 5: Вероятность того, что выбранная точка принадлежит квадрату
Вероятность \( P \) того, что случайно выбранная точка из круга принадлежит квадрату, рассчитывается как отношение площади квадрата к площади круга:
\[ P = \frac{S_{квадрат}}{S_{круга}} = \frac{50}{300} = \frac{1}{6} \]
Итог
Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит квадрату, составляет \( \frac{1}{6} \).
