Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении два: семь, считая от вершины тупого угла. Найдите меньшую сторону параллелограмма если его…

Давайте разберём эту задачу подробно.

Условие задачи

У нас есть параллелограмм, и биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении \(2:7\). Также известно, что периметр параллелограмма равен \(64 \, \text{см}\). Необходимо найти меньшую сторону параллелограмма.

Шаг 1: Определим стороны параллелограмма

Обозначим стороны параллелограмма как \(a\) (меньшая сторона) и \(b\) (большая сторона).

Формула для периметра параллелограмма: \[ P = 2(a + b) \] Подставим известное значение периметра: \[ 64 = 2(a + b) \] Делим обе стороны на \(2\): \[ a + b = 32 \quad (1) \]

Шаг 2: Введение переменных по отношению

Согласно условию, биссектриса делит противоположную сторону в отношении \(2:7\). Это означает, что точка делит сторону на два отрезка, где один отрезок равен \(2k\), а другой равен \(7k\), где \(k\) — некоторый коэффициент.

Таким образом, вся сторона \(AB\) (противоположная биссектрисе) можно представить, как: \[ AB = 2k + 7k = 9k \] Это одна из сторон параллелограмма.

Шаг 3: Найдем выражение для сторон через \(k\)

Поскольку параллелограмм имеет равные противоположные стороны, мы можем записать: \[ b = 9k \quad (2) \] Из (1) я выражу сторону \(a\): \[ a + 9k = 32 \quad \Rightarrow \quad a = 32 - 9k \quad (3) \]

Шаг 4: Найдем \(k\)

Согласно свойству биссектрисы, для любого треугольника отношение отрезков, на которые она делит противоположную сторону, пропорционально прилежащим сторонам. То есть: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{AC_1}{AC_2} \] где \(AC_1 = a\) и \(AC_2 = b\).

Теперь запишем отношение: \[ \frac{9k}{b} = \frac{a}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{9k}{9k} = \frac{32 - 9k}{2} \] Сначала упростим: \[ 1 = \frac{32 - 9k}{2} \] Умножим обе стороны на \(2\): \[ 2 = 32 - 9k \quad \Rightarrow \quad 9k = 30 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \]

Шаг 5: Подставим значение \(k\) в выражение для сторон

Теперь найдем стороны \(a\) и \(b\): \[ b = 9k = 9 \cdot \frac{10}{3} = 30 \quad \text{сантиметров} \] Теперь подставляем \(k\) в (3): \[ a = 32 - 9 \cdot \frac{10}{3} = 32 - 30 = 2 \quad \text{сантиметра} \]

Ответ

Меньшая сторона параллелограмма: \[ \boxed{2} \, \text{см} \]