Давайте разберём эту задачу подробно.
Условие задачи
У нас есть параллелограмм, и биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении (2:7). Также известно, что периметр параллелограмма равен (64 , \text{см}). Необходимо найти меньшую сторону параллелограмма.
Шаг 1: Определим стороны параллелограмма
Обозначим стороны параллелограмма как (a) (меньшая сторона) и (b) (большая сторона).
Формула для периметра параллелограмма:
[
P = 2(a + b)
]
Подставим известное значение периметра:
[
64 = 2(a + b)
]
Делим обе стороны на (2):
[
a + b = 32 \quad (1)
]
Шаг 2: Введение переменных по отношению
Согласно условию, биссектриса делит противоположную сторону в отношении (2:7). Это означает, что точка делит сторону на два отрезка, где один отрезок равен (2k), а другой равен (7k), где (k) — некоторый коэффициент.
Таким образом, вся сторона (AB) (противоположная биссектрисе) можно представить, как:
[
AB = 2k + 7k = 9k
]
Это одна из сторон параллелограмма.
Шаг 3: Найдем выражение для сторон через (k)
Поскольку параллелограмм имеет равные противоположные стороны, мы можем записать:
[
b = 9k \quad (2)
]
Из (1) я выражу сторону (a):
[
a + 9k = 32 \quad \Rightarrow \quad a = 32 - 9k \quad (3)
]
Шаг 4: Найдем (k)
Согласно свойству биссектрисы, для любого треугольника отношение отрезков, на которые она делит противоположную сторону, пропорционально прилежащим сторонам. То есть:
[
\frac{AB}{BC} = \frac{AC_1}{AC_2}
]
где (AC_1 = a) и (AC_2 = b).
Теперь запишем отношение:
[
\frac{9k}{b} = \frac{a}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{9k}{9k} = \frac{32 - 9k}{2}
]
Сначала упростим:
[
1 = \frac{32 - 9k}{2}
]
Умножим обе стороны на (2):
[
2 = 32 - 9k \quad \Rightarrow \quad 9k = 30 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}
]
Шаг 5: Подставим значение (k) в выражение для сторон
Теперь найдем стороны (a) и (b):
[
b = 9k = 9 \cdot \frac{10}{3} = 30 \quad \text{сантиметров}
]
Теперь подставляем (k) в (3):
[
a = 32 - 9 \cdot \frac{10}{3} = 32 - 30 = 2 \quad \text{сантиметра}
]
Ответ
Меньшая сторона параллелограмма:
[
\boxed{2} , \text{см}
]
