Для решения задачи о вероятности выпадения четвёрки на кубике, нам понадобится использовать биномиальное распределение.
Параметры задачи:
- Кубик бросается 6 раз ((n = 6)).
- Вероятность того, что на каждом броске выпадает четвёрка ((p = \frac{1}{6})).
- Вероятность того, что на каждом броске не выпадает четвёрка ((q = 1 - p = \frac{5}{6})).
- Мы хотим найти, какую вероятность имеет то, что четвёрка выпадет ровно 2 раза ((Z = 2)).
Формула биномиального распределения
Формула для вероятности биномиального распределения выглядит так:
[
P(Z=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- (C(n, k)) — биномиальный коэффициент, равный (\frac{n!}{k!(n-k)!}),
- (p) — вероятность успеха (в данном случае, попасть на четвёрку),
- (q) — вероятность неудачи (не попасть на четвёрку),
- (n) — общее количество испытаний (бросков кубика),
- (k) — количество успехов (выпавших четвёрок).
Подставляем значения
Для нашей задачи:
- (n = 6),
- (k = 2),
- (p = \frac{1}{6}),
- (q = \frac{5}{6}).
- Находим биномиальный коэффициент (C(6, 2)):
[
C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
]
- Подставляем значения в формулу:
[
P(Z=2) = C(6, 2) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6-2}
]
- Вычисляем:
- Теперь подставляем эти значения:
[
P(Z=2) = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{625}{1296}
]
- Умножаем по шагам:
- Сначала вычисляем (15 \cdot \frac{625}{36 \cdot 1296}):
[
15 \cdot \frac{625}{36} = \frac{9375}{36}
]
Теперь подставим в итог:
[
P(Z=2) = \frac{9375}{36 \cdot 1296} = \frac{9375}{46656}
]
- Теперь давайте получим значение в десятичной форме:
[
P(Z=2) \approx 0.2009
]
- Округляем до тысячных:
Окончательно, вероятность того, что четвёрка выпала ровно 2 раза, равна:
[
P(Z=2) \approx 0.201
]
Ответ:
Таким образом, вероятность того, что (Z = 2), составляет примерно 0.201 (округлено до тысячных).
