Кубик бросают 6 раз. Случайная величина Z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала четвёрка. Найди вероятность того, что Z = 2. (Ответ округли до тысячных.)

Для решения задачи о вероятности выпадения четвёрки на кубике, нам понадобится использовать биномиальное распределение.

Параметры задачи:

• Кубик бросается 6 раз (\(n = 6\)).
• Вероятность того, что на каждом броске выпадает четвёрка (\(p = \frac{1}{6}\)).
• Вероятность того, что на каждом броске не выпадает четвёрка (\(q = 1 - p = \frac{5}{6}\)).
• Мы хотим найти, какую вероятность имеет то, что четвёрка выпадет ровно 2 раза (\(Z = 2\)).

Формула биномиального распределения

Формула для вероятности биномиального распределения выглядит так:

\[ P(Z=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \(p\) — вероятность успеха (в данном случае, попасть на четвёрку),
• \(q\) — вероятность неудачи (не попасть на четвёрку),
• \(n\) — общее количество испытаний (бросков кубика),
• \(k\) — количество успехов (выпавших четвёрок).

Подставляем значения

Для нашей задачи:

• \(n = 6\),
• \(k = 2\),
• \(p = \frac{1}{6}\),
• \(q = \frac{5}{6}\).

1. Находим биномиальный коэффициент \(C(6, 2)\):

\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

2. Подставляем значения в формулу:

\[ P(Z=2) = C(6, 2) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6-2} \]

3. Вычисляем:

• Сначала вычисляем \(\left(\frac{1}{6}\right)^2\): \[ \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]

• Затем вычисляем \(\left(\frac{5}{6}\right)^4\): \[ \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296} \]

4. Теперь подставляем эти значения:

\[ P(Z=2) = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{625}{1296} \]

5. Умножаем по шагам:

• Сначала вычисляем \(15 \cdot \frac{625}{36 \cdot 1296}\): \[ 15 \cdot \frac{625}{36} = \frac{9375}{36} \]

Теперь подставим в итог:

\[ P(Z=2) = \frac{9375}{36 \cdot 1296} = \frac{9375}{46656} \]

6. Теперь давайте получим значение в десятичной форме:

\[ P(Z=2) \approx 0.2009 \]

7. Округляем до тысячных: Окончательно, вероятность того, что четвёрка выпала ровно 2 раза, равна:

\[ P(Z=2) \approx 0.201 \]

Ответ:

Таким образом, вероятность того, что \(Z = 2\), составляет примерно 0.201 (округлено до тысячных).