Кодовый замок содержит 9 возможных цифр, из которых необходимо выбрать только одну. Какой будет вероятность, что замок можно открыть точно с 4-го раза? (Ответ округли до тысячных.)

Чтобы понять задачу о вероятности открытия кодового замка, давайте разберем все шаги.

Условия задачи

• У нас есть 9 возможных цифр (от 0 до 8).
• Мы хотим узнать вероятность того, что замок откроется точно на 4-м попытке.

Вероятность

1. Что означает "открыть замок с 4-й попытки"?
   Это значит, что в первые три попытки мы вводим неправильные комбинации, а четвертая будет правильной.

2. Вероятность неудачи (неправильный ввод):

   • На каждой попытке, чтобы не открыть замок, мы можем выбрать любое из 8 неправильных вариантов (так как только одна из 9 цифр правильная).
   • Следовательно, вероятность выбрать неправильный код на каждой из первых трех попыток равна \( \frac{8}{9} \).

3. Вероятность удачи (правильный ввод):

   • На четвертой попытке мы должны выбрать правильный код, для чего вероятность равна \( \frac{1}{9} \).

Расчет вероятности

Теперь мы можем вычислить полную вероятность по формуле: \[ P(\text{неудача три раза и удача на четвертой}) = P(\text{неудача})^3 \times P(\text{удача}) \] Заменяем на наши значения: \[ P = \left(\frac{8}{9}\right)^3 \times \left(\frac{1}{9}\right) \]

Вычисление

1. Вычислим \(\left(\frac{8}{9}\right)^3\): \[ \left(\frac{8}{9}\right)^3 = \frac{8 \times 8 \times 8}{9 \times 9 \times 9} = \frac{512}{729} \]

2. Теперь умножаем на \( \frac{1}{9} \): \[ P = \frac{512}{729} \times \frac{1}{9} = \frac{512}{6561} \]

3. Теперь, чтобы получить значение в десятичной форме, делим: \[ P \approx 0.0779 \]

Округление

Теперь округляем до тысячных: \[ P \approx 0.078 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что замок откроется точно с 4-й попытки, составляет примерно 0.078.