На доске выписаны числа 7 и 8. За один ход надо заменить написанные на доске числа а и b числами (2а + 3 ) и (2 + а + b). Например, из чисел 7 и 8 можно получить либо числа ( 17;…

Рассмотрим задачу по очереди.

У нас есть начальные числа 7 и 8. В каждом ходе мы заменяем числа \(a\) и \(b\) на новые числа:

1. \(2a + 3\)
2. \(2 + a + b\)

Шаг 1: Понять процесс изменения чисел

Мы можем обозначить текущее состояние доски как пару \((a, b)\). Начальные числа \((7, 8)\) позволяют нам производить следующие шаги.

Применение замен:

• Если возьмем \(a = 7\) и \(b = 8\):

  • \(2a + 3 = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17\)
  • \(2 + a + b = 2 + 7 + 8 = 17\)

  Эта операция преобразует \((7, 8)\) в \((17, 17)\).

• Если возьмем \(a = 7\) и \(b = 8\) по-другому:

  • \(2a + 3 = 2 \cdot 7 + 3 = 17\)
  • \(2 + a + b = 2 + 7 + 8 = 17\)

  Также получим \((17, 17)\).

• Попробуем с другой парой:

  • Если возьмем \(a = 7\) и \(b = 17\):
    • \(2a + 3 = 2 \cdot 7 + 3 = 17\)
    • \(2 + a + b = 2 + 7 + 17 = 26\)

  Получим новую пару \((17, 26)\).

Так, можно заметить, что каждую итерацию мы увеличиваем число.

Шаг 2: Разобраться с частями задач

a) Может ли после нескольких ходов на доске появиться число 77?

1. Первое число 7, увеличивается, и мы можем получать нечетные и четные числа. Проверим 77:
2. Чтобы получить 77:
   • Плюс три при каждом увеличении:
   • \((2a + 3) \equiv 1 \mod 2\) и \((2 + a + b) \equiv 1 \mod 2\).
   • 77 - нечетное число можно получить.

Таким образом, можно достичь числа 77 через несколько шагов.

Ответ: Да, может появиться число 77.

б) Может ли через 101 ход на доске появиться число 20008?

1. Проверим четность:
   • 20008 — четное число.
   • После каждого замещения четное/нечетное число сохраняется: четное на четное, нечетное на нечетное.

Исходные числа (7 и 8) - нечетное и четное. После нечетных попыток получить четное 101 раз не получится.

Ответ: Нет, нельзя получить число 20008.

в) Может ли через 205 ходов на доске появиться два одинаковых числа?

1. Для двух одинаковых чисел необходимо, чтобы обе операции давали одно и то же число.
2. Проверим систему: \((x, x)\)
   • Тогда: \(2x + 3 = 2 + x + x\)
   • То есть, \(2x + 3 = 2 + 2x \implies 3 = 2\) — никогда не получится.

Не будет одинаковых чисел через нечетные ходы:

Ответ: Нет, нельзя получить два одинаковых числа через 205 ходов.