Найти корень уравнения log_2(1-x)+log_2 6=log_2 18

Для решения уравнения \( \log_2(1-x) + \log_2 6 = \log_2 18 \) воспользуемся свойствами логарифмов и решением логарифмических уравнений.

Шаг 1: Применим свойства логарифмов

Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \). Это позволит нам объединить левые логарифмические члены:

\[ \log_2(1-x) + \log_2 6 = \log_2 (6(1-x)) \]

Теперь наше уравнение можно переписать как:

\[ \log_2(6(1-x)) = \log_2 18 \]

Шаг 2: Упростим уравнение

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если и только если их аргументы равны, мы можем записать следующее:

\[ 6(1-x) = 18 \]

Шаг 3: Решим уравнение

Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе стороны на 6:

\[ 1 - x = 3 \]

Теперь вычтем 1 из обеих сторон:

\[ -x = 3 - 1 \]

\[ -x = 2 \]

Теперь умножим обе стороны на -1:

\[ x = -2 \]

Шаг 4: Проверка решения

Чтобы проверить, подходит ли найденный корень под условия логарифма, нам нужно удостовериться, что аргументы логарифмов не равны или меньше нуля.

• Подставим \( x = -2 \) в аргумент \( 1-x \):

\[ 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 > 0 \]

Аргумент логарифма положителен, следовательно, наше значение \( x = -2 \) является допустимым.

Ответ

Корень уравнения \( \log_2(1-x) + \log_2 6 = \log_2 18 \) равен \( x = -2 \).