Для решения уравнения ( \log_2(1-x) + \log_2 6 = \log_2 18 ) воспользуемся свойствами логарифмов и решением логарифмических уравнений.
Шаг 1: Применим свойства логарифмов
Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что ( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) ). Это позволит нам объединить левые логарифмические члены:
[
\log_2(1-x) + \log_2 6 = \log_2 (6(1-x))
]
Теперь наше уравнение можно переписать как:
[
\log_2(6(1-x)) = \log_2 18
]
Шаг 2: Упростим уравнение
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если и только если их аргументы равны, мы можем записать следующее:
[
6(1-x) = 18
]
Шаг 3: Решим уравнение
Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе стороны на 6:
[
1 - x = 3
]
Теперь вычтем 1 из обеих сторон:
[
-x = 3 - 1
]
[
-x = 2
]
Теперь умножим обе стороны на -1:
[
x = -2
]
Шаг 4: Проверка решения
Чтобы проверить, подходит ли найденный корень под условия логарифма, нам нужно удостовериться, что аргументы логарифмов не равны или меньше нуля.
- Подставим ( x = -2 ) в аргумент ( 1-x ):
[
1 - (-2) = 1 + 2 = 3 > 0
]
Аргумент логарифма положителен, следовательно, наше значение ( x = -2 ) является допустимым.
Ответ
Корень уравнения ( \log_2(1-x) + \log_2 6 = \log_2 18 ) равен ( x = -2 ).
