Чтобы определить, в каких вариантах ответов выделенное слово "НЕ" пишется слитно, нужно вспомнить правило о написании частиц "не" с разными частями речи.
Частица "не" пишется слитно, если она относится к прилагательным, наречиям и некоторым другим частям речи, когда без "не" слово не употребляется, либо не выражает отрицательного смысла.
Посмотрим на каждый предложенный вариант:
Это костюм достался мне (НЕ)ДАРОМ: "даром" — это наречие, и в этом контексте "не" означает "не безвозмездно". Пишется раздельно, так как это выражение устойчивое.
Мама, никогда (НЕ)ПОЗВОЛЯВШАЯ мне падать духом: "не позволившая" — это сочетание глагола с частицей "не". В этом случае "не" пишется раздельно, так как важна сама идея - мама не позволила.
Эту книгу так и (НЕ)НАШЛИ: "не нашлась" — глагол, который в данном контексте требует отрицательной частицы "не", что также подразумевает, что без "не" утрачена бы сама идея. Но так как в русском языке иногда "не" может употребляться раздельно, важно уточнить, что здесь "не" скорее раздельно, но в разговорной речи может считаться слитно.
На девушке было (НЕ)ДОРОГОЕ ситцевое платье: "недорогое" — это прилагательное, и оно пишется слитно, так как само слово "дорогое" подразумевает отрицаемое значение.
Я (НЕ)МЕДЛЕННО бросился искоренять свои недостатки: "не медленно" — это наречие, здесь частица "не" пишется раздельно, так как речь идет о том, что действие было выполнено быстро, а "не" в данном случае обманчиво.
Таким образом, варианты, в которых частица "НЕ" пишется слитно, это:
Ответ: 4.