Чтобы решить задачу о плавании шара в двух жидкостях — воде и керосине — начнем с формулировки принципа Архимеда и разберем задачу по шагам.
1. Условия задачи:
- Плотность воды ( \rho_{в} = 1000 , \text{кг/м}^3 )
- Плотность керосина ( \rho_{к} = 800 , \text{кг/м}^3 )
- Четверть объема шара ( V ) находится в воде.
2. Составим уравнение для условного равновесия шара.
Шар будет плавать, если сила, действующая на него со стороны выталкивающей силы жидкостей, уравновешивает его вес.
3. Обозначим плотность шара:
Пусть плотность шара ( \rho_{ш} ).
4. Объем шара:
Объем шара обозначим через ( V ).
Тогда объем, погруженный в воду, составит ( V_{в} = \frac{1}{4} V ).
Объем, погруженный в керосин, составит ( V_{к} = V - V_{в} = V - \frac{1}{4} V = \frac{3}{4} V ).
5. Выталкивающая сила:
Сила, действующая на шар со стороны воды:
[
F_{в} = V_{в} \cdot \rho_{в} \cdot g = \frac{1}{4} V \cdot 1000 \cdot g
]
Сила, действующая на шар со стороны керосина:
[
F_{к} = V_{к} \cdot \rho_{к} \cdot g = \frac{3}{4} V \cdot 800 \cdot g
]
6. Суммарная выталкивающая сила:
Складываем эти две силы:
[
F_{выт} = F_{в} + F_{к} = \left(\frac{1}{4} V \cdot 1000 + \frac{3}{4} V \cdot 800\right) g
]
7. Вес шара:
Вес шара:
[
F_{ш} = V \cdot \rho_{ш} \cdot g
]
8. Уравновешиваем силы:
При равновесии выталкивающая сила равна весу шара:
[
\frac{1}{4} V \cdot 1000 g + \frac{3}{4} V \cdot 800 g = V \cdot \rho_{ш} g
]
9. Сократим ( V ) и ( g ):
Так как ( V ) и ( g ) не равны нулю, можем сократить:
[
\frac{1}{4} \cdot 1000 + \frac{3}{4} \cdot 800 = \rho_{ш}
]
10. Упростим уравнение:
[
\frac{1000}{4} + \frac{2400}{4} = \rho_{ш}
]
[
250 + 600 = \rho_{ш}
]
[
\rho_{ш} = 850 , \text{кг/м}^3
]
Таким образом, плотность материала шара составляет 850 кг/м³.
