Для решения задачи начнем с обозначения членов геометрической прогрессии. Пусть первый член геометрической прогрессии — это ( b_1 = a ), второй член — ( b_2 = ar ), а третий член — ( b_3 = ar^2 ), где ( a ) — первый член прогрессии, а ( r ) — знаменатель прогрессии.
Согласно условию задачи, у нас есть две основные информации:
Сумма первого и второго членов равна 108:
[
b_1 + b_2 = a + ar = a(1 + r) = 108
]
Сумма второго и третьего членов равна 135:
[
b_2 + b_3 = ar + ar^2 = ar(1 + r) = 135
]
Теперь у нас есть две уравнения:
- ( a(1 + r) = 108 ) (Уравнение 1)
- ( ar(1 + r) = 135 ) (Уравнение 2)
Теперь выразим ( a ) из Уравнения 1:
[
a = \frac{108}{1 + r}
]
Теперь подставим это выражение для ( a ) в Уравнение 2:
[
\frac{108}{1 + r} \cdot r(1 + r) = 135
]
Упрощаем уравнение:
[
108r = 135(1 + r)
]
Теперь раскроем скобки:
[
108r = 135 + 135r
]
Переносим все слагаемые, содержащие ( r ), в одну сторону:
[
108r - 135r = 135
]
[
-27r = 135
]
Делим обе стороны на -27:
[
r = -5
]
Теперь, когда мы нашли значение ( r ), подставим его обратно в полученное ранее уравнение для ( a ):
[
a = \frac{108}{1 - 5} = \frac{108}{-4} = -27
]
Теперь мы можем найти первых три члена прогрессии:
- Первый член:
[
b_1 = a = -27
]
- Второй член:
[
b_2 = ar = -27 \cdot (-5) = 135
]
- Третий член:
[
b_3 = ar^2 = -27 \cdot (-5)^2 = -27 \cdot 25 = -675
]
Таким образом, первые три члена геометрической прогрессии:
[
b_1 = -27, \quad b_2 = 135, \quad b_3 = -675
]
Итак, ответ:
( b_1 = -27 ), ( b_2 = 135 ), ( b_3 = -675 )
