В геометрической прогрессии сумма первого и второго члена равна 108, а сумма второго и третьего члена равна 135. Найди первые три члена этой прогрессии Ответ:b1 =?, b2=? , b3=?
Для решения задачи начнем с обозначения членов геометрической прогрессии. Пусть первый член геометрической прогрессии — это \( b_1 = a \), второй член — \( b_2 = ar \), а третий член — \( b_3 = ar^2 \), где \( a \) — первый член прогрессии, а \( r \) — знаменатель прогрессии.
Согласно условию задачи, у нас есть две основные информации:
Сумма первого и второго членов равна 108: \[ b_1 + b_2 = a + ar = a(1 + r) = 108 \]
Сумма второго и третьего членов равна 135: \[ b_2 + b_3 = ar + ar^2 = ar(1 + r) = 135 \]
Теперь у нас есть две уравнения:
- \( a(1 + r) = 108 \) (Уравнение 1)
- \( ar(1 + r) = 135 \) (Уравнение 2)
Теперь выразим \( a \) из Уравнения 1: \[ a = \frac{108}{1 + r} \]
Теперь подставим это выражение для \( a \) в Уравнение 2: \[ \frac{108}{1 + r} \cdot r(1 + r) = 135 \]
Упрощаем уравнение: \[ 108r = 135(1 + r) \]
Теперь раскроем скобки: \[ 108r = 135 + 135r \]
Переносим все слагаемые, содержащие \( r \), в одну сторону: \[ 108r - 135r = 135 \] \[ -27r = 135 \]
Делим обе стороны на -27: \[ r = -5 \]
Теперь, когда мы нашли значение \( r \), подставим его обратно в полученное ранее уравнение для \( a \): \[ a = \frac{108}{1 - 5} = \frac{108}{-4} = -27 \]
Теперь мы можем найти первых три члена прогрессии:
- Первый член: \[ b_1 = a = -27 \]
- Второй член: \[ b_2 = ar = -27 \cdot (-5) = 135 \]
- Третий член: \[ b_3 = ar^2 = -27 \cdot (-5)^2 = -27 \cdot 25 = -675 \]
Таким образом, первые три члена геометрической прогрессии: \[ b_1 = -27, \quad b_2 = 135, \quad b_3 = -675 \]
Итак, ответ: \( b_1 = -27 \), \( b_2 = 135 \), \( b_3 = -675 \)
