В дереве 84 вершины, сколько концевых вершин у него может быть?

В дереве концевые вершины — это вершины, у которых нет дочерних вершин. Количество концевых вершин в дереве связано с общим количеством вершин и количеством рёбер в дереве.

Основные свойства дерева:

1. Дерево с \( n \) вершинами всегда имеет \( n - 1 \) рёбер. В данном случае \( n = 84 \), следовательно, количество рёбер будет: \[ 84 - 1 = 83 \]

2. Для дерева с \( k \) концевыми вершинами, количество рёбер можно выразить через концевые вершины следующим образом: \[ \text{Количество рёбер} = k - 1 + (84 - k) \] Здесь \( k - 1 \) — это количество рёбер, соединяющих концевые вершины, а \( 84 - k \) — это количество рёбер, соединяющих внутренние (не концевые) вершины.

Упрощение:

Количество рёбер также равняется: \[ n - 1 = k - 1 + (84 - k) \] Подставляя \( n = 84 \): \[ 83 = k - 1 + 84 - k \] \[ 83 = 83 \]

Максимальное количество концевых вершин:

Максимальное количество концевых вершин в дереве можно найти, если все внутренние вершины окажутся соединяющими только концевые. То есть, чтобы дерево оставалось деревом, внутренние вершины должны соединяться как можно меньше.

Для обычного дерева:

• В наилучшей ситуации (все внутренние вершины соединены по одному рёберу):
  • если одна вершина соединена с двумя концевыми, то:
  • \( k = \text{количество концевых} = 84 \) (это теоретически максимальное количество для линейной структуры).

Но если мы организуем дерево по-другому, можем достичь следующей схемы:

• Если \( n \) — количество концевых вершин, то общее количество рёбер \( p \) в дереве может быть больше, если добавим промежуточные.

Ответ:

В общем случае, в дереве с 84 вершинами максимальное количество концевых вершин может достигать 83 (например, если у вас 82 концевые и одна внутренняя, Connecting 82 to 1 higher).

Таким образом, ответ на вашу задачу: возможное количество концевых вершин в дереве с 84 вершинами составляет от 1 до 83.