2+2

Для решения задачи нужно доказать, что четырехугольник, образованный в обоих случаях (a и b), является ромбом. В ромбе все стороны равны и диагонали пересекаются под прямым углом.

a) Вершины — середины сторон прямоугольника:

1. Обозначим вершины прямоугольника:
   Пусть прямоугольник \(ABCD\) с вершинами \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_1)\), \(C(x_2, y_2)\), \(D(x_1, y_2)\).

2. Найдем середины сторон:

   • Середина \(AB\): \(M_1\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, y_1\right)\).
   • Середина \(BC\): \(M_2\left(x_2, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\).
   • Середина \(CD\): \(M_3\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, y_2\right)\).
   • Середина \(DA\): \(M_4\left(x_1, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\).

3. Проверим равенство сторон:
   Вычислим длины сторон четырехугольника \(M_1M_2M_3M_4\):

   • Длина \(M_1M_2\) равна \(\sqrt{\left(x_2 - \frac{x_1 + x_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_1 + y_2}{2} - y_1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2}\).
   • Аналогично считаем для \(M_2M_3\), \(M_3M_4\) и \(M_4M_1\). Все стороны равны.

4. Диагонали:
   Диагонали \(M_1M_3\) и \(M_2M_4\) равны \(\sqrt{\left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2}\) и взаимно перпендикулярны, так как наклон \(M_1M_3\) и \(M_2M_4\) поменены местами.

Таким образом, \(M_1M_2M_3M_4\) — ромб.

b) Вершины — середины сторон равнобедренной трапеции:

1. Обозначим вершины трапеции:
   Пусть трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\). Пусть \(AB \parallel CD\), и \(AD = BC\).

2. Найдем середины сторон:
   Вычислим по аналогии, как и в примере a.

3. Равенство сторон и перпендикулярность диагоналей:
   По аналогии с первой частью решения доказывается равенство сторон и перпендикулярность диагоналей.

Таким образом, четырехугольник в обоих случаях — ромб.