2+2

Для решения задачи нужно доказать, что четырехугольник, образованный в обоих случаях (a и b), является ромбом. В ромбе все стороны равны и диагонали пересекаются под прямым углом. **a) Вершины — середины сторон прямоугольника:** 1. **Обозначим вершины прямоугольника:** Пусть прямоугольник \(ABCD\) с вершинами \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_1)\), \(C(x_2, y_2)\), \(D(x_1, y_2)\). 2. **Найдем середины сторон:** - Середина \(AB\): \(M_1\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, y_1\right)\). - Середина \(BC\): \(M_2\left(x_2, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\). - Середина \(CD\): \(M_3\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, y_2\right)\). - Середина \(DA\): \(M_4\left(x_1, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\). 3. **Проверим равенство сторон:** Вычислим длины сторон четырехугольника \(M_1M_2M_3M_4\): - Длина \(M_1M_2\) равна \(\sqrt{\left(x_2 - \frac{x_1 + x_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_1 + y_2}{2} - y_1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2}\). - Аналогично считаем для \(M_2M_3\), \(M_3M_4\) и \(M_4M_1\). Все стороны равны. 4. **Диагонали:** Диагонали \(M_1M_3\) и \(M_2M_4\) равны \(\sqrt{\left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2}\) и взаимно перпендикулярны, так как наклон \(M_1M_3\) и \(M_2M_4\) поменены местами. Таким образом, \(M_1M_2M_3M_4\) — ромб. **b) Вершины — середины сторон равнобедренной трапеции:** 1. **Обозначим вершины трапеции:** Пусть трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\). Пусть \(AB \parallel CD\), и \(AD = BC\). 2. **Найдем середины сторон:** Вычислим по аналогии, как и в примере a. 3. **Равенство сторон и перпендикулярность диагоналей:** По аналогии с первой частью решения доказывается равенство сторон и перпендикулярность диагоналей. Таким образом, четырехугольник в обоих случаях — ромб.